Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 7.2 Exponential Change and Separable Differential Equations 515
7.2 EXPONENTIAL CHANGE AND SEPARABLE DIFFERENTIAL EQUATIONS
x x x x x
1. (a) y e y e 2y 3y 2 e 3e e
(b)
(c)
y e
x 3x 2 x 3 3x 2 x 3 3x 2 x 3x 2 x
e y e e 2y 3y 2 e e 3 e e e
2 2
y e
x 3x 2 x 3 3x 2 x 3 3x 2 x 3x 2 x
Ce y e Ce 2y 3y 2 e Ce 3 e Ce e
2 2
2. (a) y 2
1 1 1 2
x
2
x x
(b) y 2
1 1 1
x 3 2
( x 3) ( x 3)
y 2
(c) y 2
1 1 1
x C
2
( x C)
( x C)
y 2
3. y 1
x t t x
1 1 2
t t
e
x
e e
x
e x 1
x
e x x
x 1 t dt y 2
1 t dt x x x y x
1 t dt e x x 1 t
dt e xy e
2 x
x y xy e
4.
3
1
x 4 1 4
x 4 4
y 1 t dt y x 1 t dt 1 1 x
4 1 2
3
4 1
4
1 x
1 x
1 x
3 3 3
2 1
x 4
y x 1 t dt 1 y 2x y 1 y 2x
y 1
4 4 1
4 4
1 x 1 x
1 x 1 x
x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x
tan 2 tan 2 2 tan 2 2
x
1 2e
1 4e
5. y e e y e e e e e e
x
2 2
( ln 2) 1 ln 2 1
y y 2 y y 2 ; y( ln 2) e tan 2e
2 tan 1 2
2x
2x
1 4e
1 4e
4 2
6.
2 2 2 2 2
x x x x
2
y ( x 2) e y e 2 xe ( x 2) y e 2 xy; y(2) (2 2) e 0
7. y cos x xsin x cos x sin x 1 cos x sin x y
sin
x y y 2
x
x x x y x x
xy x y
cos( 2)
xy y sin x; y
0
2 ( 2)
8.
1
x
2 2
1 1
2 2 2
y ln x x
x 2 x x 2 2
;
ln x y y (ln ) ln x x y x (ln x) ln x
x y xy y
(ln x)
y( e) e e.
ln e
9.
dy 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
2 xy 1 2x y dy dx 2y dy x dx 2y dy x dx
dx
2 3/2 1/2 2 3/2 1/2
2 y 2 x C
3 1 y x C , where C 1 C
3
2 1
10.
dy
dx
2 2 1/2 1/2 2 1/2 2 1/2 1/2 1 3
x y dy x y dx y dy x dx y dy x dx 2y x C 2y x C
3 3
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