Thomas Calculus 13th [Solutions]

204 Chapter 3 Derivatives
72.
2
1/2
1
4
y x y
1 x
1
1
x
x
3 dy
4
dx
(1 x)(1) (1 x)( 1) dy
(1 x)
dx
y
2
1
2 y (1 x)
3 2
73.
x 2y x 2 y dy dy
e 1 e 1 2 0
1
dx dx 2
74.
2 1/ x dy 1/ x 1
2 2 2 d ( ) 2e dy
y e y e x
e
dx dx x dx yx
1/ x
1/ x
2 2
(1)
75. ln x 1 1 d x
y x
dx dy y
0 0
y x/
y dx y 2
y
dx x
dy
76.
1 2
xsin y 1 x
1
y sin( x x)
dy 1 1 2 1
2 2
cos( x x) d ( x x) (1 x )cos( x x) x 1 cos x 1
dx dx x x
77.
1 1 1 1 tan
1
x
tan x tan x dy tan x
2 2 2 ( tan 1 ) 2
tan x
ye y e e d x e
1 2 e
dx dx 1 x 1 x
2 2
78.
y y 1/2
2 ln( ) ln(2 ) ln ln 2 ( ln ) 0 1 dy dy y
x x y x d y x y ln x 0
2 dx x dx dx xln
x
79.
3
p 4 pq
2
3q
dp 6q 4 p
dq 2
3 4 2
2 3 p dp
dp
4 6
dq
p q dq
q
2 dp dp
0 3p
4q
dq dp
dp 2
6q 4 p (3p 4 q) 6q 4 p
dq
80.
2 3/2
q (5p 2 p) 1
dp
dq
2
5 p 2 p
3(5 p 1)
5/2
3 2 5/2 dp dp
(5p 2 p) 10 p 2
2 dq dq
2 2 5/2
3 (5 p 2 p ) dp (10 p 2)
dq
81.
2
r cos 2s sin s r ( sin 2 s )(2) (cos 2 s ) dr 2sin cos
ds
s s 0 dr (cos 2 s
ds
) 2r sin 2s 2sin s cos s
dr 2r sin 2s sin 2s
(2r
1)(sin 2 s)
(2r
1)(tan 2 s)
ds cos 2s
cos 2s
82.
2
2rs r s s 3 2 r s dr dr 1 2
ds ds
s 0 dr (2 s
ds
1)
1 2s
2r
dr
ds
1 2s
2r
2s
1
83. (a)
(b)
2 2
2 2
2 2 4
( 2 ) ( ) 2
3 3 2 2 dy dy d y
y x x y
x y 1 3x 3y
0
x
dx dx y dx y
2 2 2
2
2 xy (2 yx )
x
y
2
2 4
2 2x
4
d y
2 xy 3 4
y 2 xy 2 x
4 5
dx
y
y
y
y 2
1 2 2 dy
x
y 2 dy 1 dy 2 1
( yx )
dx x
2 dx yx
2 dx
2 1
2
2xy
x
2
2
yx xy
2 2 4 3 4
d y
2 1
dx y x y x
2
d y
2
dx
dy
dx
2 2 2 dy
( yx ) y(2 x)
x
dx
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