Thomas Calculus 13th [Solutions]

1224 Chapter 16 Integrals and Vector Fields
26.
S
2 1 1 2 1 1 2 2
xy z d ( u v)( u v) v 6 du dv 6 u 2v du dv
0 0 0 0
1 2 1
2 1 2 3
1
1 1 2 6
6 u 2uv dv 6 2v dv 6 v v
2
0 3
0 0 3 3 3 0 3 3
i j k
27. rr
(cos ) i (sin ) j, r ( r sin ) i ( r cos ) j k rr
r cos sin 0
r sin r cos 1
2 2 2 2
(sin ) i (cos ) j rk | rr
r | sin cos r 1 r Surface Area | rr
r | dr d
R
1
2 1 2 2 2 1 2
2
1 r dr d r 1 r ln r 1 r d 1 2 1 ln 1 2 d
0 0 0 2 2 0 2 2
0
2 ln 1 2
r
28.
S
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2
x y 1 d r cos r sin 1 1 r dr d 1 r dr d
0 0 0 0
2 2
r r d 4 d 8
0 3
0 0 3 3
3 1
29. P 0 N , M 0 P , N 0 M
y z z x x y
Conservative
P 3zy
N M 3xz P N 3xy
M
y
x y z
z z
x y z
x x
x y z
y
30. , ,
2 2 2
5/2
2 2 2
5/2
2 2 2
5/2
Conservative
31. P 0
y
z
ye
N
z
Not Conservative
P x N y
, M P , N z M
y x yz z z x yz x x x yz y
32.
2 2 2
Conservative
33.
f 2
2 f ( x, y, z) 2 x g( y, z) f g 2 y z g( y, z) y zy h( z) f ( x, y, z)
x y y
2 f
2
2 x y zy h( z) y h ( z) y 1 h ( z) 1 h( z) z C f ( x, y, z) 2x y zy z C
z
34. f z cos xz f ( x, y, z) sin xz g( y, z) f g e y g( y, z) e y h( z) f ( x, y, z)
x y y
y
f
y
sin xz e h( z) x cos xz h ( z) x cos xz h ( z) 0 h( z) C f ( x, y, z) sin xz e C
z
35. Over Path 1: r ti tj tk , 0 t 1 x t, y t,
z t and
2
F dr 3t 1 dt Work
1 2
0 3t
1 dt 2;
Over Path 2: r 1 ti tj , 0 t 1 x t, y t, z 0 and
2 2
dr ( i j k) dt F 2t i j t k
2 2
dr1 ( i j) dt F1
2t i j t k
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