Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1009
ww w 2 #
x x
10. y 2y y œ 6sin 2x Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1
œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1e c2xe ;
w
ww
y œ A sin 2x B cos 2x Ê y œ 2A cos 2x 2B sin 2x Ê y œ 4A sin 2x 4B cos 2x
p p p
Ê4A sin 2x 4B cos 2x 22A cos 2x 2B sin 2xA sin 2x B cos 2x
œ6sin 2x
24 18
Ê 3A 4Bsin 2x 4A 3Bcos 2x œ 6sin 2x Ê 3A 4B œ 6, 4A 3B œ 0 Ê A œ 25, B œ 25
x x 24 18
Ê y œ c e c xe sin 2x cos 2x
1 2
25 25
ww w x 2 3x 2x
11. y y 6y œ e 7cos x Ê r r 6 œ 0 Ê r 3r 2
œ 0 Ê r œ 3 or r œ 2 Ê yc œ c1e c2e ;
x w x ww x
y œ Ae B sin x C cos x Ê y œ Ae B cos x C sin x Ê y œ Ae B sin x C cos x
p
p
p
x x x x
Ê Ae B sin x C cos x Ae B cos x C sin x6Ae B sin x C cos x
œ e 7cos x
x
x
Ê4Ae 7B Csin x B 7Ccos x œe 7cos x Ê4A œ1, 7B C œ0, B 7C œ7
1 7 49 3x 2x 1 x
7 49
Ê A œ , B œ , C œ Ê y œ c e c e e sin x cos x
4 50 50 1 2 4 50 50
ww w x 2x 2 x 2x
12. y 3y 2y œ e e x Ê r 3r 2 œ 0 Ê r 1r 2
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 2 Ê yc œ c1e c2e ;
x 2x w x x 2x 2x
y œ Axe Bxe CxDÊ y œ Ae Axe Be 2Bxe C
p
p
ww x x 2x 2x
p
x x 2x 2x
x x 2x 2x x 2x x 2x
Ê y œ 2Ae Ax e 4Be 4Bx e Ê 2Ae Ax e 4Be 4Bx e
3Ae Ax e B e 2Bx e C2Ax e Bx e Cx D
œ e e x
Ê Ax e x
B e 2x
2Cx 3C 2D œ e x
e 2x
x Ê A œ 1, B œ 1, 2C œ 1, 3C 2D œ 0
ÊA œ1, B œ1, C œ 1 , D œ 1 x 2x x 2x
Êy œc e c e x e x e 1 x
1
2 dy
dy
2 4 1 2
2 4
# 2 0 † x 5x 5x
13.
dx2 5 dx
œ 15x Ê r 5r œ 0 Ê rr 5
œ 0 Ê r œ 0 or r œ 5 Ê yc œ c1e c2e œ c1 c2e ;
y œ Ax Bx Cx Ê y œ 3Ax 2Bx C Ê y œ 6Ax 2B Ê 6Ax 2B 53Ax 2Bx C
œ 15x
p $ # p w # p
ww # #
Ê 15Ax # 6A 10B x 2B 5C œ 15x #
3 6
Ê 15A œ 15, 6A 10B œ 0, 2B 5C œ 0 Ê A œ 1, B œ 5, C œ
25
5x $ 3 # 6
Ê y œ c c e x x x
2 dy
dx
dy
dx
2
1 2
5 25
2 0† x 1†
x x
14. 2 œ 8x 3 Ê r r œ 0 Ê rr 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê y œ c e c e œ c c e ;
c 1 2 1 2
w ww
yp
œ Ax Bx Ê yp
œ 2Ax B Ê yp
œ 2Ax Ê 2A 2Ax B œ 8x 3 Ê 2Ax 2A B
œ 8x 3
Ê2A œ8, 2A B œ3 ÊA œ4, B œ5 Êy œc c e 4x 5x
2 dy
dx
1 2 x #
dy 3x 2 0 x 3x 3x
dx
c 1 2 1 2
3x # w 3x 3x ww 3x 3x
p
p
3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x
†
15. 2 3 œ e 12x Ê r 3r œ 0 Ê rr 3 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 3 Ê y œ c e c e œ c c e ;
y œ Axe Bx Cx Ê y œ Ae 3Axe 2BxC Ê y œ 6Ae 9Axe 2B
p
Ê 6Ae 9Axe 2B 3Ae 3Ax e 2Bx C œ e 12x Ê 3Ae 6Bx 2B 3C
œ e 12x
1 4 3x 1 3x # 4
Ê 3A œ 1, 6B œ 12, 2B 3C œ 0 Ê A œ , B œ 2, C œ Ê y œ c c e x e 2x x
2 dy
dy
3 3 1 2 3 3
# 2 0 † x 7x 7x
16.
dx2 7 dx
œ 42x 5x 1 Ê r 7r œ 0 Ê rr 7
œ 0 Ê r œ 0 or r œ 7 Ê yc œ c1e c2e œ c1 c2e ;
$ # w # ww
y œ Ax Bx Cx Ê y œ 3Ax 2BxC Ê y œ 6Ax2B
p p p
# # # #
Ê 6Ax 2B 73Ax 2Bx C œ 42x 5x 1 Ê 21Ax 6A 14Bx 2B 7C
œ 42x 5x 1
1 2 7x $ 1 # 2
Ê 21A œ 42, 6A 14B œ 5, 2B 7C œ 1 Ê A œ 2, B œ , C œ Ê y œ c c e 2x x x
2 7 1 2
1 7
ww w 2 0x † x x
c 1 2 1 2 1 2
x
x 0 e 1 0
º
w x e º º
w 0 x
º
xe x
x
x
x
1 #
v1
x and v2
x e v ' x dx x and
1
e x e x 1 e x e x
1
2
º
0 e
xº º
0 e
xº
x x x 1 x x x 1 x 1
2 œ' # # #
œ Ê p œ
2
œ
2
Ê œ 1 2
2
17. y y œ x, Ê r r œ 0 Ê rr 1
œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê y œ c e c e œ c c e Ê y œ 1, y œ e
Ê œ œ œ œ œ œ Ê œ œ
v xe dx xe e y x 1 xe e e x x 1 y c c e x x
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.