Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 3.7 Implicit Differentiation 163
4.
3 3
x xy y
1
2 dy 2 dy
dx dx
3x y x 3y
2 dy 2 dy y 3 x
0 (3 y x) y 3x
dx dx 2
3y x
2
5.
2 2 2 2
x ( x y) x y :
Step 1:
Step 2:
Step 3:
Step 4:
x 2 2( x y) 1 dy
2
dy
dx
2 x ( x y) 2y
dx
2
2 x ( x y) 2y
dy
dx
dy
2x 1 x( x y) ( x y)
dx 2
2 x ( x y ) 2 y
2
( x y) (2 x) 2x 2y
dy
dx
dy
2 2
2x 2 x ( x y) 2 x( x y)
dx
2
2 x[1 x( x y) ( x y) ]
2
x 1 x( x y) ( x y)
2
y x ( x y)
2
2 2 2
x 1 x xy x 2xy y
2 3
x y x
y
3 2 2
x 2x 3x y xy
2 3
x y x
y
6.
2
(3xy 7) 6y 2(3xy 7) 3 x dy
dy
3 6 2(3 7)(3 )
dx
y dx
xy x dy
6 dy
6 y
dx dx
(3 xy 7)
2
dy
dy y(3xy 7) 3xy 7 y
[6 x(3xy 7) 6] 6 y(3xy
7)
dx
dx x(3xy 7) 1 2
1 3x y 7x
7.
2 x 1
x 1
y y 2
2 dy
dx
( x 1) ( x 1)
( x 1)
2
( x 1)
2
dy
dx
1
y( x 1)
2
8.
3 2x y 4 3
3
x 3y
3 2
2 4x
9x y
x x x y 2x y
y
3
3x
1
3 2 3 3 3 2
4x 9x y 3x y 2 y (3x 1) y 2 4x 9x y
9. x tan y 1
2
(sec )
dy dy
dx dx
1
sec y
y 2
cos
2
y
dy
dx
10. xy cot( xy)
x y
dy
dx
2
x x csc ( xy)
2
dy
dx
csc ( xy ) x y x
2
y csc ( xy) 1
dy
dx
dy 2 dy 2
dx
dx
2
y csc ( xy) 1 y
2
x 1 csc ( xy)
x
x csc ( xy) y csc ( xy)
y
11. x tan( xy) 0 1
1
2
xsec ( xy)
y
x
2
2
sec ( xy)
y x
cos ( xy)
x
y
x
2
dy
dx
cos ( xy)
x
y
2
0 xsec ( xy) dy
dx
2
1 ysec ( xy)
dy
dx
2
2
1 ysec ( xy)
xsec ( xy)
12.
4 3 2
x sin y x y
3
4 x (cos y) dy
dx
2 2 3
3x y x 2y
dy
dx
3
(cos y 2 x y) dy
dx
2 2 3
3x y 4x
2 2 3
dy 3x y 4x
dx 3
cos y 2 x y
13. y sin
1
1 xy cos
1
( 1)
1
2
y
dy
y
dx
1
cos
1
sin
1
y y y
y dy 1 dy dy
sin
y y dx y dx dx
x
y sin
y
2
1
cos
1
y y
xy
dy
dx y y y
x y
1
cos
1
sin
1
14. x cos(2x 3 y) y sin x xsin(2x 3 y)(2 3 y ) cos(2x 3 y ) y cos x y sin x
2xsin(2x 3 y ) 3xy sin(2x 3 y ) cos(2x 3 y ) y cos x y sin x
cos(2x 3 y) 2xsin(2x 3 y) y cos x (sin x 3xsin(2x 3 y))
y
y
cos(2x 3 y) 2xsin(2x 3 y) y cos x
sin x 3xsin(2x 3 y)
x
y
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