Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 8.5 Integration of Rational Functions by Partial Fractions 591
5 4 3 2 3 2
A B 2A 2B A B C D C D E F
5 4 3 2
A B (2 A C) (2 B D) ( A C E) ( B D F) A 0; B 1;
2A C 4 C 4; 2B D 2 D 0; A C E 3 E 1; B D F 1 F 0;
1 2
4 2 3 1 1 2 2
d d 4 d d tan 2 1 1 1
2
3 2
2
2
2
3
1
4
1 1 1
4 3 2
C
33.
34.
35.
36.
37.
3 2
2x 2x 1 2x 1 2 x 1 1
2 2
( 1) ; A B
x x x( x 1) x x 1
1 A( x 1) Bx; x 0 A 1; x 1 B 1;
x x x x
3 2
2x 2x 1 2 2
2x dx dx dx x ln x ln x 1 C x ln x 1 C
2
x x
x x 1
x
4
x x 2 1 1 x 2
1 1 1
2 2
1 1
( 1)( 1) ; A B
x x ( x 1)( x 1) x 1 x 1
1 A( x 1) B( x 1);
x
x
4
2
x 1 A 1 ; x 1 B 1 ; x dx x 1 dx 1 dx 1 dx
2 2 2
x 1
2 x 1 2 x 1
3
3
1 x x 1 ln x 1 1 ln x 1 C x x 1 ln x 1 C
3 2 2 3 2 x 1
3 2
9 x 3 x 1 9 9 x 3 x 1 (after long division); 9x 3x 1 A B C
3 2 2
2 2
x x x ( x 1)
x ( x 1) x x x 1
2
2 2
9x 3x 1 Ax( x 1) B( x 1) Cx ; x 1 C 7; x 0 B 1; A C 9 A 2;
3
9x 3x 1 dx 9 dx 2 dx dx 7 dx
1
3 2 x 2 x 1
9x 2ln x x
7 ln x 1 C
x x x
3
16x (4x 4) 12x 4 ; 12x 4 A B
2 2 2 2 1
12 4 (2 1)
2
4 4 1 4 4 1 (2 1) x
x A x B
x x x x x (2x
1)
3
A 6; A B 4 B 2; 16x dx 4 ( x 1) dx 6 dx
4 4 1 2 1
2 dx
x x x (2x
1)
2 2
2 1
2 1
2( x 1) 3ln 2x 1 C
2 1 1 2x 4x 3ln 2x 1 (2x 1) C , where C 2 C
x
1
4 2
y y 1 1 1 By C
y ; A 1 A y 2 1 ( By C) y ( A B)
y 2 Cy A
3 2 2
2
y y y y 1 y y 1 y y 1
4 2 2
A 1; A B 0 B 1; C 0; y y 1 dy y dy dy y dy y
1 2
3 y 2
1 2 ln | y| 2
ln 1 y C
y y y
38.
4
2 y
2 2 2
By C
2y
2 ;
A
3 2 3 2 3 2 2
1 2
y y y 1 y y y 1 y y y 1 y 1 ( y 1) y y 1
2 2 2 2
2 A y 1 ( By C)( y 1) Ay A By Cy By C ( A B) y ( B C) y ( A C)
A B 0, B C 0 or C B, A C A B 2 A 1, B 1, C 1;
4
2 y dy 2 ( y 1) dy dy y dy
2 1 2 1
3 2 1 ( 1) ln 1 2 2
2
ln 1 tan 1
y y y 1 y
dy y y y y C
y 1 y 1
2 1 2 1
y 2y ln y 1 ln y 1 tan y C , where C C
2
1 1
t
39. ;[ , ] 1 1
2 2
3 2 3 2 1 2 ln 2
ln
t
e dt e t
y e t
dt dy dy dy dy y
e
t t y y y
C C
t
e e y y e 2
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