Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 14.10 Partial Derivatives with Constrained Variables 1057
4.
2 2 2
w x y z and y sin z z sin x 0
x x
x
y
(a) y y w w w x w w z ;
y
x y x x y x z x
z z( x, y)
( y cos z ) z (sin x ) z z cos x 0 z z cos x
x x x y cos z sin x
. At
y
x
0 and
(0, 1, ), z
x
1
(b)
y
z
w
x
y
(0,1, )
(2 x)(1) (2 y)(0) (2 z)( ) 2
(0,1, )
2
x x( y, z)
y
y y w w w x w w z (2 x) x (2 y)(0) (2 z)(1) (2 x) x 2 z.
z y x z y z z z z z
z z
Now (sin z y
) cos sin ( cos ) x 0
z
y z x z x z
and y
0 y cos z sin x ( z cos x ) x
z
z
0
x y cos z sin x
. At (0, 1, ), x 1 0 1 w 2(0) 1 2 2
z z cos x
z ( )(1)
z y
(0,1, )
5.
2 2 3
w x y yz z and
(a)
(b)
x
y
2 2 2
x y z
6
x x
y
2 2 2
y y w w w x w w z 2 xy (0) 2 x y z (1) y 3z
z
y
x
x y y y z y y
z z( x, y)
2 2
2x y z y 3 z z . Now (2 ) x 2 (2 ) z 0
y
x y
y z y
and x 0 2 (2 ) 0 y
y z z z
y y y z
.
2 2
At ( w, x, y, z) (4, 2,1, 1), z 1 1 w
(2)(2) (1) ( 1) 1 3( 1) (1) 5
y 1 y x
(4, 2, 1, 1)
x x( y, z)
y
w w x w y w z 2 2 2
y y w 2xy x 2 x y z (1) y 3 z (0)
z
y
z
x y y y z y y
z z
2 2
2x y x 2 x y z . Now (2 ) x 2 (2 ) z 0
y
x y
y z y
and z 0 (2 ) 2 0 y
x x y x
y y y x
.
2 2
At ( w, x, y, z) (4, 2,1, 1), x 1 w
(2)(2)(1) 1 (2)(2) (1) ( 1) 5
y 2 y x (4, 2, 1, 1)
2
6. 1 u v 2 2
y uv v u ; x u v x 0 0 2u
u 2v
v v u u
y y
y y y y v y
2 2
v u u u u v u u u v At u v
u 1
2 2
y 2
2
1 .
y v y v y y v u
( , ) 2, 1 , 1 u 1
y
1 2
x
7.
r x r cos
y r sin
x
r
cos ;
x 2 y 2 r 2
y
2 x 2 y 2 r
x
r x
and y 0 2 x 2 r r r x
x x x r
r x
x y x y
2 2
8. If x, y, and z are independent, then w w x w y w z w t
x y,
z x x y x z x t x
(2 x )(1) ( 2 y )(0) (4)(0) (1) t 2 t .
x
x x
Thus x 2 z t 25 1 0 t 0 t
x x
1
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.