Thomas Calculus 13th [Solutions]

662 Chapter 9 First-Order Differential Equations
5. 6.
7.
x
dy
y 1 t y( t) dt x y( x);
1
dx
1
dy
y(1) 1 t y( t) dt 1; x y, y(1) 1
1
dx
x
8. 1 dy
y dt 1 ;
1 t dx x
y 1
(1) 1 0;
1 t
dt dy 1 , y
dx x
(1) 0
9.
x
dy
y 2 1 y( t) sin t dt 1 y( x) sin x;
0
dx
y(0) 2
0
dy
y(0) 2 1 y( t) sin t dt 2; 1 y sin x,
0
dx
10.
x
dy
y 1 y( t) dt y( x);
0
dx
0
dy
y(0) 1 y( t) dt 1; y, y(0) 1
0
dx
0
11. 1
1 0 1 y
y y dx
x
1 1 2
(.5) 0.25,
0
0.25
2 1 1 y
y y dx
x
0.25 1 2.5
(.5) 0.3,
1
1
2
0.3
3 2 1 y
y y dx
x
0.3 1 2
3
(.5) 0.75;
dy 1 1 1
ln x
y 1 P( x) , Q( x) 1 P( x) dx dx ln| x| ln x, x 0 v( x)
e x
dx x x x
2
y 1 1 1 x
x
x dx x 2
C ; x 2, y 1 1 1 C C 4 y x 4
2 2 x
y(3.5) 3.5 4 4.25 0.6071
2 3.5 7
12. y1 y0 x0 1 y0
dx 0 1(1 0)(.2) .2,
y2 y1 x1 1 y1
dx .2 1.2(1 .2)(.2) .392,
y3 y2 x2 1 y2
dx .392 1.4(1 .392)(.2) .5622;
dy
2
x dx ln |1 y | x C;
1 y
2
2
(1 x )/2
y 1 e y(1.6) .5416
x 1, y 0 ln1 1 C C 1 ln |1 y | x 1
2 2 2 2
2
13. y1 y0 2x0 y0 2y0
dx 3 2(0)(3) 2(3) (.2) 4.2,
y2 y1 2x1 y1 2y1
dx 4.2 2(.2)(4.2) 2(4.2) (.2) 6.216,
y3 y2 2x2 y2 2y2
dx 6.216 2(.4)(6.216) 2(6.216) (.2) 9.6969;
dy
dx
dy
y
2
2 y( x 1) 2( x 1) dx ln | y | ( x 1) C ; x 0, y 3 ln 3 1 C C ln 3 1
2 2
2 ( x 1) ln 3 1 ln 3 x 2 x x( x 2)
ln y ( x 1) ln 3 1 y e e e 3 e y(.6)
14.2765
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