Thomas Calculus 13th [Solutions]

164 Chapter 3 Derivatives
15.
16.
2x
2x
2x 2x 2e 2e
cos( x 3 y) cos( x 3 y)
e sin( x 3 y) 2 e (1 3 y )cos( x 3 y) 1 3y 3y
1
y
2x
2e cos( x 3 y)
3cos( x 3 y)
2 2 2 2 2 2
x y x y 2 2 x y x y 2 x y x y
e 2x 2 y e ( x y 2 xy) 2 2y x e y 2xye 2 2y x e y 2y 2 2xye
y
2 2xye
2 x
2
y
x e
x
2
y
2
17.
1/2 1/2
r
1
1 1/2 1 1/2
r dr
0
dr 1 1
2 2 d d 2 r 2
dr
d
2
2
r
r
18.
r
2
3 2/3 4 3/4
2 3
dr
d
1/2
1/3 1/4 dr
d
19. sin( r )
1
cos( r ) r dr
0 dr
[ cos( r )] r cos( r )
dr
2
d
d
1/2 1/3 1/4
d
r cos( r )
cos( r )
r
, cos( r ) 0
20.
r
cos r cot e ( sin r) csc
sin r e re
2
r
e
r
dr
d
r
dr r dr r
dr
d d d r
2 re csc
csc
e sin r
2
dr 2 r r
r re e
d
( sin ) csc
dr
d
21.
2 2
x y 1 2x 2yy 0 2 yy dy
2 x x
;
dx
y y
now to find d y
, d
( y ) d x
2
dx dx dx y
( 1)
y x
x
2
2 2 2 2
y xy
y
y since
x d y y x y (1 y )
y
y
1
2 2
2
y
y
y
3
3 3
dx
y
y y
2
22.
2/3 2/3
x y
Differentiating again, y
2 1/3 2 1/3 dy
x y
3 3 dx
1 0
dy
dx
1/3 1 2/3 1/3 1 2/3
x y y y x
3 3
2/3
x
2 1/3
2
3
y
( ) ( )
d y 1 2/3 1/3 1 1/3 4/3 y
x y y x
1
dx 3 3 3x 3y x
2 4/3 1/3 2/3
1/3
2 1/3
3 x y dy 1/3
x
dx 1/3
y
1/3 1 2/3 y
1/3
1/3 1 2/3
3
x
1/3 3
2/3
x y y x
x
y
x
1/3
;
23.
2
2 x
y e x yy
2 2
x
2x
2 2xe
2
2
dy
dx
2
x
xe
y
1
2
d y
2
dx
2
2 2
x
2 x x xe 1
2 2
2 1 2 2 2 x 2 2x
2 2 1
y x e xe
y
x y y x e x e
2
y
3
y
2 2 2
2 x x x
y 2x e e xe 1 y
2
y
24.
2
y 2x 1 2y 2y y 2 2 y y (2y 2) 2 y 1
y 1
2
2 1 d y
( y 1) ( y 1) y 1
2 3
dx ( y 1)
1
2
( y 1) ; then y ( y 1) y
25.
1/2
2 y x y y y
1/2
1 y y y 1 1
dy
dx
3/2
1/2
equation y y 1 1 again to find y : y 1 y y
2
2
d y
2
dx
y
2
1 1
2 y
1/2 1
1/2
y
( y 1)
3/2
1 1
2 y ( y 1) 2 1 y
3/2 1/2 3 3
1
y
1/2
y
y
1/2
y
; we can differentiate the
1 y 1
1/2 2 3/2
1 y 0 y 1 y 1 [ y ] y
2
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