Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 399
2/3
78. Limits of integration: x y and
4 2/3 4
x 2 y y 2 y c 1 and d 1;
4 2/3 1 4 2/3
f ( y) g( y) (2 y ) y A (2 y y ) dy
1
5 1
y 3 5/3
2y y 2 1 3 2 1 3
5 5 5 5 5 5
1
2 2 1 3 12
5 5 5
2
2
79. Limits of integration: x y 1 and x | y| 1 y
2 2 4 2 2 2
y 1 | y| 1 y y 2y 1 y (1 y )
4 2 2 4 4 2
y 2y 1 y y 2y 3y
1 0
2 2 2
2
(2y 1)( y 1) 0 2y 1 0 or y 1 0
2 2
or y 1 y or y 1.
2
2
Substitution shows that
2
2 2
for 1 y 0, f ( x) g( x) y 1 y ( y 1)
are not solutions y 1;
2 2 1/2
1 y y(1 y ) , and by symmetry of the graph,
2
y 1
2
0 2 2 1/2 0 2 0 2 1/2
A 2 1 y y(1 y ) dy 2 (1 y ) dy 2 y(1 y ) dy
1 1 1
3 0 2 3/2 0
2 y 1 2(1 )
3 2 y
y 2 (0 0) 1 1 2 0 2
2 3
3 3
1 1
80. AREA A1 A2
Limits of integration: x 2y and
3 2 3 2
x y y y y 2y
0
2
y( y y 2) y( y 1)( y 2) 0 y 1,0,2:
3 2
for 1 y 0, f ( y) g( y) y y 2y
0 3 2 y y 2
A1 ( y y 2 y)
dy y
1
4 3
0 1 1 1 5 ;
4 3 12
4 3 0
3 2
for 0 y 2, f ( y) g( y) 2y y y
2 3 2 2
A2 (2 y y y ) dy y
0
4 3 2
y y
4 3
4 16 8 0 8 ; Therefore, A1 A2 5 8 37
4 3 3
12 3 12
0
1
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