Thomas Calculus 13th [Solutions]

556 Chapter 8 Techniques of Integration
4. sin x
x
2
( )
( )
cos x
2x
sin x
( )
2 cos x
0
2 2
x sin x dx x cos x 2xsin x 2cos x C
5.
2
ln ,
dx
; ,
x
;
x
2
2 2 2 2 2 2 2
x 3 3
1 ln x dx x
2 ln x x dx
1 1 2 2ln 2 x
x
4 2ln 2 1
4 ln 4 4
u x du dv x dx v
6.
3
u ln x, du dx ; dv x dx, v x ;
x
4
e
4 e
3
e 4 4 4 e
x ln x dx x ln x x dx e x
1 4
1 1 4 x 4 16
1
4
4
3e
1
16
7. , ; x x
u x du dx dv e dx, v e ;
x x x x x
x e dx xe e dx xe e C
8.
3x
1 3x
u x, du dx; dv e dx, v e ;
3
3x 3x 1 3x 3x 1 3x
x e dx x e e dx x e e C
3 3 3 9
9.
e
x
2
x
( )
e
x
2x
( )
e
x
2
( )
e
x
0
2 x 2 x x x
x e dx x e 2x e 2e C
10.
2x
e
2 ( ) 1 2x
x 2x 1 e
2
( ) 1 2x
2x
2
e
4
( ) 2
2
1 x
e
8
2 2x 2 2 2 2
0
1 x 1 x 1 x
x 2x 1 e dx x 2x 1 e (2x 2) e e C
2 4 4
1 2 3 5 2x
x x e C
2 2 4
11. tan 1
, dy
u y du ; dv dy , v y ;
2
1 y
tan 1 tan 1 y dy
1 1 2 1 2
y dy y y y tan y
2
1
2
ln 1 y C y tan y ln 1 y C
y
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