Thomas Calculus 13th [Solutions]

440 Chapter 6 Applications of Definite Integrals
(d)
2 2 2 2 2
2
0 0
r( y) 4 y and R( y) 4 V R( y) r( y) dy 16 4 y dy
2
2 2 4 2 2 4 8 3 y
16 16 8y y dy 8y y dy y
64 32 224
0 0
3 5 3 5 15
0
5 2
52. (a)
(b)
r( y) 0 and R( y) 1 y
2 2 2
V R( y) r( y)
dy
0
2 2 2
2
y
y
1 1
0 2 0 4
y
2
dy y dy
2 3 2
y y
2
4 8 2
2 12 2 12 3
0
y
R y
2
r( y) 1 and ( ) 2
2 2 2 2 y
2
2
2
y
0 0 2 0
4
V R ( y ) r ( y ) dy 2 1 dy 4 2 y 1 dy
2 2
3 2 y
y
y dy 3y y
6 4
8
2
2 8
0
4 12 12 3 3
0
2 3 2
53. (a)
(b)
(c)
2
1 2 2
r( x) 0 and R( x) 1 x V R( x) r( x)
dx
1 2
2 1 2 4
1 1 2
1 1
x
x dx x x dx
3 5 1
2x
x
2 1
2 1
2
15 10 3 16
3 5
1
3 5 15 15
1
2 1 2 2 1 2
1 1
r( x) 1 and R( x) 2 x V R( x) r( x) dx 2 x 1 dx
1 2 4 1 2 4 4 3
4 4x x 1 dx 3 4x x dx 3x x
x
2 3
4 1
1 1 3 5
1
3 5
2
(45 20 3)
56
15 15
2 1 2 2 1
2
1 1
r( x) 1 x and R( x) 2 V R( x) r( x) dx 4 1 x dx
1 2 4 1 2 4 2 3
4 1 2x x dx 3 2x x dx 3x x
x
2 3
2 1
1 1 3 5
1
3 5
2
(45 10 3)
64
15 15
5 1
5 1
2
2
54. (a) r( x) 0 and R( x) h
x h
b
b 2 2
0
b
2 b
0
h h
b
2
3
x
2
x
b
2 b
2
h b
2
3b
b
0
3 3
V R( x) r( x)
dx
h
b x h dx 2 x 2
2
2
x h 2
dx
0
2
b
h x h b b
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.