Thomas Calculus 13th [Solutions]

560 Chapter 8 Techniques of Integration
30.
u ln z
2 1
u 2 u 2u
2
z(ln z) dz; du dz e u e du e u du;
z
dz
u
e du
2u
e
2 ( ) 1 2u
u
e
2
( ) 1 2u
2u
e
4
( ) 1 2u
2
e
8
0
2 2u 2
2u 2u 2
2
1 u
u
2
u e du u e u e e C e 2u 2 2 4 4
2u 1 C
2
2
z 2(ln z) 2 ln z 1 C
4
31.
2 2 1 2
x sec x dx Let u x , du 2x dx du x dx x sec x dx 1 sec u du 1 ln |sec u tan u|
C
2 2 2
1 2 2
ln |sec tan |
2 x x C
32.
cos x
1 1
cos x
dx Let u x, du dx 2du dx dx 2 cos u du 2 sin u C 2 sin x C
x 2 x x x
33.
u ln x
2 1
u 2 u 2u
2
x(ln x) dx; du dx e u e du e u du;
x
dx
u
e du
2u
e
2 ( ) 1 2u
u
e
2
( ) 1 2u
2u
e
4
( ) 1 2u
2 e
8
0
2 2u 2
2u 2u 2
1 2u
u
2
u e du u e u e e C e 2u 2 2 4 4
2u 1 C
2 2 2 2 2 2
x 2 ln x 2 ln x 1 C x ln x x ln x x
4 2 2 4
C
1 dx u x du 1 1 1 1 1
(ln ) x dx dx du x x x(ln x)
u u C ln x
C
34. Let ln ,
2 2 2
35. u ln x , du 1 ; 1 , 1 ;
x
dx dv dx v 2
x
x
ln x dx ln x 1 ln x 1
2 x dx 2
x
x x x
C
36.
3 3
(ln x) 1 (ln x) 3 1 4 1 4
dx Let u ln x, du dx dx u du u C (ln x)
C
x x x
4 4
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