Thomas Calculus 13th [Solutions]

1000 Chapter 14 Partial Derivatives
6. (a) w y cos xy,
w x cos xy,
w 1,
x
y
z
7. (a)
dx
dt
1,
dy
dt
1 ,
t
dz t 1 x cos xy t 1
e dw y cos xy e
dt dt t
cos ( ln ) 1 1
(ln t) cos ( t ln t) t t t e t (ln t) cos ( t ln t) cos ( t ln t) e
t ;
t
w z 1 1 1 1
sin xy e t
sin ( t ln t ) dw t t
cos ( ln ) ln (1 ln ) cos ( ln )
dt
e t t t t t
e t t t
(b) dw (1) 1 (1 0)(1) 0
dt
cos x
z z x z y x
v 4
4e ln y 4e sin v
4e ln y e (sin v)
u x u y u u cos v y u y
4( u cos v) ln ( u sin v) 4( u cos v)(sin v)
u u sin v
(4cos v) ln ( u sin v) 4cos v;
x
z z x z y x sin 4
x
4e u cos v
4e ln y u v e ( u cos v) 4e ln y (tan v)
v x v y v u cos v y y
4( 4( cos )( cos ) 4 cos
u cos v ) ln ( u sin v ) (tan v ) u v u v sin
( 4 u sin v ) ln ( u sin v ) u v
u v sin v
;
x
sin v
z 4e ln y 4( u cos v) ln ( u sin v) z (4 cos v) ln ( u sin v) 4( u cos v)
u u sin v
(4 cos v) ln ( u sin v) 4cos v ; also z ( 4u sin v) ln ( u sin v) 4( u cos v)
u cos v
v u sin v
2
( 4u sin v) ln ( u sin v) 4u cos v
sin v
(b) At 2, : z 4cos ln 2sin 4cos
4 u 4 4 4
2 2 ln 2 2 2 2(ln 2 2);
z
v
4
2
4
(4)(2) cos
( 4)(2)sin ln 2sin 4 2 ln 2 4 2 2 2 ln 2 4 2
4 4 sin
x
x
x
2
8. (a)
1
x
y
y
2
y cosv
v
v
sin
2 2 2 2 2 2 2
x
1
x
1
y
y
z ( u sin v)(cos v) ( u cos v)(sin v)
cos sin x v
0;
v x y x y u
1
x
y
y
2
yu sin v
( u sin v) u cosv
cos
2 2 2 2 2 2 2
x
1
x
1
y
y
z xu v ( u sin v)( u sin v) ( u cos v)( u cos v)
v x y x y u
(b) At
2 2
sin v cos v 1;
1
2 2
sin v cos v
6
z
u
1
1.3, : 0
1 x 1
y
z tan tan (cot v ) 0 and 2
and
z
1
v
z
u
z
v
1
1 cot v
csc
2
v
w w x w y w z
u x u y u z u
9. (a) ( y z)(1) ( x z)(1) ( y x)( v) x y 2 z v( y x)
( u v) ( u v) 2 uv v(2 u) 2u 4 uv;
w w x w y w z
v x v y v z v
2
( y z)(1) ( x z)( 1) ( y x)( u) y x ( y x) u 2 v (2 u) u 2v 2 u ; w xy yz xz
2 2 2 2 2 2 2 2 2
u v u v vu u v uv u v 2u v w
2u 4uv and
u
w
2 u 2 2
(b) At
1
, 1 : 2
1
4
1
(1) 3 and
w
v
2(1) 2
1
2
3
2 2
w
v
2v
2
2
u
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