Thomas Calculus 13th [Solutions]

174 Chapter 3 Derivatives
44.
1 1/2
1 1 dy
y [ t( t 1)] ln y [ln t ln( t 1)]
1 1 1
t( t 1) 2 y dt 2 t t 1
dy 1 1 2t 1 2t
1
dt 2 t( t 1) t( t 1) 2( t t)
2 3/2
45.
y
1/2 1 1 dy
3(sin ) ( 3) sin ln y ln( 3) ln(sin )
1 cos
2 y d 2( 3) sin
dy
d
3(sin )
1
2( 3)
cot
46.
y
1/2 1 1 dy
(tan ) 2 1 (tan )(2 1) ln y ln(tan ) ln(2 1)
sec 2 1 2
2 y d tan 2 2 1
dy
d
2
2
(tan ) 2 1 sec 1 (sec ) 2 1 tan
tan 2 1 2 1
47. y = t(t + 1)(t + 2) ln y = ln t + ln(t + 1) + ln(t + 2) 1 dy 1 1 1
y dt t t 1 t 2
dy 1 1 1
( 1)( 2) ( 2) ( 1) 2
t( t 1)( t 2) t( t 1)( t 2) t t t t t t 3t 6t
2
dt t t 1 t 2 t( t 1)( t 2)
48. 1 1 dy
y ln y ln1 ln t ln( t 1) ln( t 2)
1 1 1
t( t 1)( t 2) y dt t t 1 t 2
( 1)( 2) ( 2) ( 1) 2
3 6 2
3 2 2
dy 1 1 1 1 1 t t t t t t t t
dt t( t 1)( t 2) t t 1 t 2 t( t 1)( t 2) t( t 1)( t 2) ( t 3t 2 t)
49. 5 1 dy 1 1 sin dy
y ln y ln( 5) ln ln(cos ) 5 1 1 tan
cos y d 5 cos d cos 5
50.
y
dy
d
sin
sec
1 1 dy 1 cos (sec )(tan )
ln y ln ln(sin ) ln(sec )
2 y d sin 2sec
sin 1 cot 1 tan
sec
2
51.
2
x x 1 1 2 2 y
y ln y ln x ln( x 1) ln( x 1) 1 x 2
2/3 2 3 2
( x 1) y x x 1 3( x 1)
y
2
x x 1 1 x 2
2/3 2
( x 1) x x 1 3( x 1)
52.
10 10
( x 1) 1
y 5 5 ( x 1)
y ln y [10ln( x 1) 5ln(2x 1)]
y
5 5
5 2 1 2 1 5
(2x
1) y x x (2x
1) x 1 2x
1
53. y 3
x( x 2) 1 2 y
ln y [ln x ln( x 2) ln( x 1)] 1 1 1 2x
2 3 3 2 2
x 1 y x x x 1
1 3
x( x 2)
y
1 1 2x
3 2 2 2
x 1 x x x 1
x( x 2)( x 2) 2
54. y 3
ln y 1[ln x ln( x 1) ln( x 2) ln( x 1) ln(2x
3)]
2
( x 1)(2x
3)
3
y
1 x( x 1)( x 2)
3
1 1 1 2x
2
( x 1)(2x 3) x x x x 1 x
3 2 1 2 2 2 3
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