Thomas Calculus 13th [Solutions]

1054 Chapter 14 Partial Derivatives
8.
2 2 2 2 2 2
f ( x, y) cos x y fx
2xsin x y , f y 2y sin x y ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
fxx 2sin x y 4x cos x y , fxy 4xy cos x y , f yy 2sin x y 4y cos x y
1 2 2
f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
1 2 2
1 x 0 y 0 [ x 0 2xy 0 y 0] 1, quadratic approximation;
2
2 2 3 2 2 2 2 2 2 2
fxxx
12x cos x y 8x sin x y , fxxy
4y cos x y 8x y sin x y ,
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2
fxyy
4x cos x y 8xy sin x y , f yyy 12y cos x y 8y sin x y
1 3 2 2 3
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
1 3 2 2 3
1 x 0 3x y 0 3xy 0 y 0 1, cubic approximation
6
f ( x, y) 1 f 1 ,
2
1 x f y f
x y xx fxy f yy
(1 x y) (1 x y)
1 2 2
f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
1 2 2 2 2
1 x 1 y 1 x 2 2xy 2 y 2 1 ( x y) x 2xy y
2
2
1 ( x y) ( x y ) , quadratic approximation; f 6
xxx f
4 xxy fxyy f yyy
(1 x y)
1 3 2 2 3
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
2 1 3 2 2 3
1 ( x y) ( x y) x 6 3x y 6 3xy 6 y 6
6
2 3 2 2 3 2 3
1 ( x y) ( x y) x 3x y 3xy y 1 ( x y) ( x y) ( x y ) , cubic approximation
9.
2 3
10.
1 1 y
1
2(1 y)
f ( x, y) f , x
1
1 x f
2 y , f , ,
2 xx f
x y xy 3 xy
2
(1 x y xy) (1 x y xy) (1 x y xy) (1 x y xy)
2
2
2(1 x)
2 2
f yy
f ( x, y) f (0, 0) x f (0, 0) (0, 0) 1 (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
3
x y f y x f
(1 x y xy)
2 xx xy fxy y f yy
1 2 2 2 2
1 x 1 y 1 x 2 2xy 1 y 2 1 x y x xy y , quadratic approximation;
2
3
6(1 y)
4(1 x y xy) 6(1 y)(1 x) (1 y) 4(1 x y xy) 6(1 x)(1 y) (1 x)
fxxx , f , ,
4 xxy f
4 xyy
4
(1 x y xy) (1 x y xy) (1 x y xy)
3
6(1 x)
3 2 2 3
f yyy
f ( x, y) quadratic 1 x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
4
(1 x y xy)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
2 2 1 3 2 2 3
1 x y x xy y x 6 3x y 2 3xy 2 y 6
6
2 2 3 2 2 3
1 x y x xy y x x y xy y , cubic approximation
11. f ( x, y) cos x cos y fx sin x cos y, f y cos x sin y, fxx cos x cos y, fxy
sin x sin y,
1 2 2
f yy cos x cos y f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
2 2
2
1
y
1 x 0 y 0 x ( 1) 2xy 0 y ( 1) 1 x , quadratic approximation. Since all partial
2 2 2
2
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.