Thomas Calculus 13th [Solutions]

Chapter 9 Additional and Advanced Exercises 699
3. (a) Let y be any function such that v( x) y v( x) Q( x) dx C,
d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
dx v x y v x y y v x v x Q x We have P( x)
dx
v( x)
e
P( x)
dx
v( x) e . Then
v ( x) P( x)
dx
e P( x) v( x) P( x ). Thus v( x) y y v( x) P( x) v( x) Q( x) y yP( x) Q( x ) the
given y is a solution.
(b) If v and Q are continuous on [ a, b ] and x ( a, b ), then d
x
( ) ( )
dx x v t Q t dt v ( ) ( )
x
( ) ( ) ( ) ( ) .
x v t Q t dt v x Q x dx So C y0v x0 v( x) Q( x) dx . From part (a),
0
v( x) y v( x) Q( x) dx C . Substituting for C: v( x) y v( x) Q( x) dx y0v( x0
) v( x) Q( x)
dx
v( x)
y y0v x 0 when x x 0 .
0
4. (a) y P( x) y 0, y( x 0 ) 0. Use
P( x)
dx
v( x)
y C y Ce and
P( x)
dx
v ( x)
e as an integrating factor. Then d ( ) 0
dx
v x y
P( x)
dx
y1 C1 e ,
P( x)
dx
y2 C2 e , y1 x0 y2 x0 0,
P( x) dx P( x)
dx
y1 y2 C1 C2 e C3e and y1 y 2 0 0 0. So y1 y 2 is a solution to
y P( x) y 0 with y x0 0.
(b)
(c)
d P( x) dx P( x)
dx
v( x) y1 ( x) y2( x) d e e C d d
1 C2 C1 C2 C3
0.
dx dx dx dx
d
dx
v( x) y1 ( x) y2( x) dx v( x) y1 ( x) y2
( x) 0 dx C
P( x)
dx
P( x)
dx
y1 C1 e , y2 C2 e , y y 1 y 2 . So P( x) dx P( x)
dx
y x0 0 C1e C2e
0
C1 C2 0 C1 C2 y1 ( x) y2
( x ) for a x b.
5.
2 2
2 2 dy
0 x y
y 1 y y
x y dx x ydy x F F( v) 1 v dx dv 0
dx xy y x y/ x x x v x v F ( v)
2
dx dv 0 dx vdv
ln 1 2
4
ln 2 1 4ln ln 2 y
C x v C x 1 C
x 1
2
v v
x 2v
1
x
v
2 2
4 2 y x 2 2 2 2 2 2 C 2 2 2
ln x ln C ln x 2y x C x 2y x e x 2y x C
2
x
6.
2
x 2
2 dy y 2 x y dx dy 2
0 y x y dy y y y
( ) dx dv 0
dx 2 dx x x F x F v v v x
2
x v v v
dx dv C ln x 1 C ln x 1 C ln x x C
x 2
v
v y/
x y
7.
y/
x
y/ x dy xe y y/
x y y
v
xe y dx xdy 0 e F F( v) e v dx dv 0
dx x x x x v
v e v
dx
x
dv
v
e
v
y/
x
C ln x e C ln x e C
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.