Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 17.2 Nonhomogeneous Linear Equations 1011
ww 2 x x x
c 1 2 1 2
x
x
x
0 e e 0
º
w sin x e º º
w e sin x
º
e sin x 1 x
x
x
x
x e sin x 1 x
v1
e sin x and v2
e sin x
ex e x 2 2 e
x e
x
2 2
º
ex
e xº º
ex e
xº
24. y y œ sin x Ê r 1 œ 0 Ê r 1r 1
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê y œ c e c e Ê y œ e , y œ e
Ê œ œ œ œ œ œ
'
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
1 2 4 4 2 2 4 4
p
ˆ 1 x 1 x ‰ x ˆ 1 x 1 x ‰ x 1 x x x 1
4 4 4 4 2 1 2
2
Ê v œ e sinxdxœ e cosx e sinx and v œ e sinxdxœ e cosx
e sinx
Ê y œ e cos x e sin x e e cos x e sin x e œ sin x Ê y œ c e c e e sin x
ww w 2 4„
È42415
2x
21
1 2
25. y 4y 5y œ 10 Ê r 4r 5 œ 0 Ê r œ œ 2 „ i Ê y œ e c cos x c sin x
1
2x
2
2x
w
1
2x
0 e sinx
º 2x
2x º
10 e cos x2e sin x
e 2xcosx e 2xsinx
º
e 2xsinx# e 2xcosx e 2xcosx2e 2xsinx
º
Ê y œ e cosx, y œ e sinx Ê v œ œ
e cosx 0
2x
º 2x
2x º
w e sinx#
e cosx 10
2
e
2xcosx e 2xsinx
º
e 2xsinx# e 2xcosx e 2xcosx2e 2xsinx
º
2x 10e cos x
e 4x
and v œ œ œ 10e cos x
'
2x
'
2x
10e sin x
e
2x # x # x 2x # x # x
1 2
2x
4x œ10e sin x
Ê v œ 10e sin x dx œ 2e cos x 4e sin x and v œ 10e cos x dx œ 2e sin x 4e cos x
# x # x 2x # x # x 2x 2x
p 1 2
Ê y œ 2e cos x 4e sin xe cos x2e sin x 4e cos xe sin x œ 2 Ê y œ e c cos x c sin x2
ww w x 2 0 †
c 1 x 2 x 1 2 x 1 2
x
x 0 e 1 0
º x x
w 2 e
º x x 2 e w 0 2
v1 2 x º xº
x 2 2 x
and v ˆ ‰ 1
2
v ' 2 x dx 2 x and
1 ex
ex 1 ex
ex e 1
ln2
º
0 exº º
0 exº
26. y y œ 2 Ê r r œ 0 Ê rr 1
œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê y œ c e c e œ c c e Ê y œ 1, y œ e
Ê œ œ œ œ œ œ Ê œ œ
2 x 1 2 x 1 1 2 x
1 1 ln2 1
v œ' ˆ ‰ dx œ ˆ ‰ Ê y œ ˆ 2 ‰ 1ˆ ˆ ‰ ‰ e œ ˆ ‰
2 œ 2
x x x x
2 e ln21 e p ln2 ln21 e ln2 ln21 ln2ln21
y c1 c2e x ln 2 1 2
x
ln 2ln 21
Ê œ
'
2 dy
1 1 2
dx 2 2
c 1 2 1 2
0 sinx cosx 0
º
w sec x cos x
º º
w sin x sec x
º
sinxsecx 1
Ê v1 œ œ œ tan x and v2
œ œ œ sin x Ê v œ'
tan x dx
cos x sin x 1 cos x sin x 1 1
º
sin x cos x
º º
sin x cos x
º
27. 2 y œ sec x, x Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê y œ c cos x c sin x Ê y œ cos x, y œ sin x
'
sin x
cos x 2 p
'
œ dx œlnkcos x k and v œ 1 dx œx Êy œlnkcos xkcos xxsin x œcos x lnkcos xkx sin x
Ê y œ c1cos x c2sin x cos x lnkcos xkx sin x
2 dy
dx
dy
dx
x 2 0 x x x
c 1 2 1 2
†
28. 2 œ e cos x Ê r r œ 0 Ê rr 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê y œ c e c e œ c c e
Ê y œ 1, y œ e Ê v œ œ œ e cos x and v œ œ œ cos x
1 2
'
x
x 0 e 1 0
º x x e cosx e
º 2x
º x
x
0 e cosx
º x
w
e cosx w
e cosx
1 1 ex
ex
2 1 ex
ex
º
0 ex
º º
0 ex
º
x 1 x 1 x
1 2 2
2
p
ˆ 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x
2 2
‰
2 2 1 2 2 2
Ê v œ e cos x dx œ e sin x e cos x and and v œ cos x dx œ sin x
Ê y œ e sin x e cos x 1 sin x e œ e sin x e cos x Ê y œ c c e e sin x e cos x
ww w 5x # 5x 5x w # 5x 5x 5x 5x
p
p
ww # 5x 5x 5x 5x 5x
yp
25Ax e 20Ax e 2Ae 25Bx e 10B e
# 5x 5x 5x 5x 5x # 5x 5x 5x 5x 5x
29. y 5y œ x e , y œ Ax e Bx e Ê y œ 5Ax e 2Ax e 5Bx e B e
Ê œ
Ê 25Ax e 20Ax e 2Ae 25Bx e 10B e 55Ax e 2Ax e 5Bx e B e œ x e
5x 5x 5x 1 1 1 # 5x 1 5x
Ê 10Ax e 2A 5B e œ x e Ê 10A œ 1, 2A 5B œ 0 Ê A œ , B œ Ê y œ x e x e ;
10 25 p 10 25
2 0 †
œ Ê œ Ê œ œ Ê c œ 1 x 2 5x œ 1 2
5x
5x
Ê y œ c1 c2e 1 # 5x 5x
x e
1
10 25xe
r 5r 0 r r 5 0 r 0 or r 5 y c e c e c c e
'
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