Thomas Calculus 13th [Solutions]

562 Chapter 8 Techniques of Integration
e x
44. Let , 1 2 1
e x u u x
dx u x du dx du dx dx 2 e du 2e C 2e C
x 2 x x x
y
x
45. cos x dx ; dy 1 dx cos y 2 y dy 2 y cos y dy ;
2 x
dx 2y dy
u 2 y, du 2 dy; dv cos y dy, v sin y;
2y cos y dy 2y sin y 2sin y dy 2y sin y 2cos y C 2 x sin x 2 cos x C
46.
y x
x 1
y 2 y
x e dx; dy dx y e 2y dy 2 y e dy;
2 x
dx 2y dy
y
e
2 ( )
2y
( )
4y
( )
4
0
y
e
y
e
y
e
2 y 2 y y y x x x
2y e dy 2y e 4y e 4e C 2x e 4 x e 4e C
47.
sin 2
2 ( ) 1 cos 2
2
( )
2 1 sin 2
4
( )
2 1 cos 2
8
0
2 2
2
1
sin 2 d cos 2 sin 2 cos 2
0 2 2 4
0
2
2 2 2
( 1) 0 1 ( 1) 0 0 1 1 1 4
8 4 4 4 8 2 8
48.
cos 2x
3 ( )
x
1 sin 2x
2
2 ( )
3x
1 cos 2x
4
( )
6x
1 sin 2x
8
( )
6 1 cos 2x
16
0
2 3
3 3
2 3 3
x cos 2x dx x sin 2x x cos 2x x sin 2x cos 2x
0 2 4 4 8
0
2
3 2 2 3 4
0 3 ( 1) 3 0 3 ( 1) 0 0 0 3 1 3 3
16 16 8 8 8 16 4 16
2
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