Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 17.4 Euler Equations 1021
" "
# #
# ww w
2 2 1
2
y
z 2z lnx 2lnx c1 c2
c1e c2e c1e c2e y
Èx
x
6. 2x y 7x y 2y œ 0 Ê 2r 7 2r 2 œ 0 Ê 2r 5r 2 œ 0 Ê 2r 1r 2
œ 0 Ê r œ or r œ 2
Ê œ œ Ê œ
#
# ww w 2 2 1
1
0z † 3z
3 1 2
0lnx †
ce 1 ce 1 lnx c
3 2
2 y c1
3È x
7. 3x y 4x y œ 0 Ê 3r 4 3r œ 0 Ê 3r r œ 0 Ê r3r 1
œ 0 Ê r œ 0 or r œ Ê y œ c e c e
œ Ê œ
# ww w
2 2
8. x y 6x y 4y œ 0 Ê r 6 1r 4 œ 0 Ê r 5r 4 œ 0 Ê r 1r 4
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 4
z 4z lnx 4lnx c c
Ê y œ c e c e œ c e c e Ê y œ
1 2
1 2 1 2
x x 4
# ww w 2 2
#
9. x y x y y œ 0 Ê r 1 1r 1 œ 0 Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1
œ 0 Ê r œ 1, repeated twice
z z lnx lnx
Ê yœ c e c ze œ c e c lnxe Ê yœ c xc xlnx
1 2 1 2 1 2
# ww w
10. x y x y 2y œ 0 Ê r 1 1r 2 œ 0 Ê r 2r 2 œ 0 Ê r œ œ 1 „ i
z
2 2
2„ É 2
2 412
21
1 2
lnx
1 2 1 2
Ê y œ e c cos z c sin z œ e c cosln xc sinln x Ê y œ x c cosln xc sinln x
# ww w
11. x y x y 5y œ 0 Ê r 1 1r 5 œ 0 Ê r 2r 5 œ 0 Ê r œ œ 1 „ 2i
z
2 2
2„ É 2
2 415
21
1 2
lnx
1 2 1 2
Ê y œ e c cos 2z c sin 2z œ e c cos2 ln xc sin2 ln x Ê y œ x c cos2 ln xc sin2 ln x
# ww w
2 2
2
6„
É6 4113
21
1 2
3ln x
1
1 2 x 1 2
12. x y 7x y 13y œ 0 Ê r 7 1r 13 œ 0 Ê r 6r 13 œ 0 Ê r œ œ 3 „ 2i
3z
Ê y œ e c cos 2z c sin 2z œ e c cos2 ln xc sin2 ln x Ê y œ c cos2 ln xc sin2 ln x
$
# ww w
2 2
2
2„
É2 4110
21
1 2
lnx
1
1 2 x 1 2
13. x y 3x y 10y œ 0 Ê r 3 1r 10 œ 0 Ê r 2r 10 œ 0 Ê r œ œ 1 „ 3i
z
Ê y œ e c cos 3z c sin 3z œ e c cos3 ln xc sin3 ln x Ê y œ c cos3 ln xc sin3 ln x
# ww w
14. x y 5x y 10y œ 0 Ê r 5 1r 10 œ 0 Ê r 6r 10 œ 0 Ê r œ œ 3 „ i
3z
2 2
6„ É 2
6 4110
21
1 2
3ln x
1 2
$
1 2
Ê y œ e c cos z c sin z œ e c cosln xc sinln x Ê y œ x c cosln xc sinln x
# ww w
2 2
2
4„
É4
445
1
24
2
15. 4x y 8x y 5y œ 0 Ê r 8 4r 5 œ 0 Ê 4r 4r 5 œ 0 Ê r œ œ „ i
z
lnx
1
1 2 1 2 Èx
1 2
Ê yœ e ccoszcsinz œ e ccoslnx csinlnx Ê yœ ccoslnx csinlnx
"
"
# #
# ww w
2 2
8„ É 2
8 445
1
24
2
z 1 1 lnx 1 1 1 1
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
16. 4x y 4x y 5y œ 0 Ê 4r 4 4r 5 œ 0 Ê 4r 8r 5 œ 0 Ê r œ œ 1 „ i
Ê y œ e ˆ c cos ˆ z‰ c sin ˆ z‰ ‰ œ e ˆ c cosˆ ln x‰ c sinˆ ln x‰ ‰ Ê y œ xˆ c cosˆ ln x‰ c sinˆ ln x‰
‰
# ww w 2 2
#
17. x y 3x y y œ 0 Ê r 3 1r 1 œ 0 Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1
œ 0 Ê r œ 1, repeated twice
z z lnx lnx c1 c2lnx
1 2 1 2
x x
Ê yœ c e c ze œ c e c lnxe Ê yœ
4„ É 2
4 419
21
18. x # y ww 3x y w
2 2
9y œ 0 Ê r 3 1r 9 œ 0 Ê r 4r 9 œ 0 Ê r œ œ 2 „ È5 i
2z
2ln x
Ê y œ e Š c cos Š È5 z‹ c sin Š È5 z‹ ‹ œ e Š c cosŠ È5 ln x‹ c sinŠ È5 ln x‹
‹
1 2 1 2
Ê yœ x # Š c cosŠ È5lnx‹ c sinŠ È5lnx‹
‹
1 2
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