Thomas Calculus 13th [Solutions]

408 Chapter 5 Integration
3. (a)
(b)
(c)
(d)
4. (a)
(b)
(c)
(d)
10 10
a k 1 a 1 1
4 4 k ( 2)
4 2
k 1 k 1
10 10 10
( bk 3 ak ) bk 3 ak
25 3( 2) 31
k 1 k 1 k 1
10 10 10 10
( ak bk 1) ak bk
1 2 25 (1)(10) 13
k 1 k 1 k 1 k 1
10 10 10
5 b 5 5
2 k
b
2 k (10) 25 0
2
k 1 k 1 k 1
20 20
3ak
3 ak
3(0) 0
k 1 k 1
20 20 20
( ak bk ) ak bk
0 7 7
k 1 k 1 k 1
20 20 20
1 2b k 1 2 b 1 2
2 7 2 7 k (20) (7) 8
2 7
k 1 k 1 k 1
20 20 20
( ak
2) ak
2 0 2(20) 40
k 1 k 1 k 1
5. Let u 2x 1 du 2 dx 1 du dx; x 1 u 1, x 5 u 9
2
5 1/2
(2 1)
1 x dx 9 1/2 1/2 9
u 1 du u 3 1 2
1 2
1
2
6. Let u x 1 du 2x dx
1
1
3 2 1/3
x( x 1)
dx
du x dx; x 1 u 0, x 3 u 8
2
8 1/3 4/3
8
u 1
du 3
u 3
0 2 8 0 8
(16 0) 6
7. Let u x 2 du dx; x u , x 0 u 0
0
cos x
2
2 2
0 0
dx (cos )(2 ) [2sin ]
/2 /2
8. Let u sin x du cos x dx;
0
/2
(sin x)(cos x)
dx
u du u 2 sin 0 2sin 2(0 ( 1)) 2
2
x 0 u 0, x u 1
2
1
u du u 1
0 2
0
2
2 1
9. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
1
2
f x dx f x dx 1
2 3 2
3
( ) 3 ( ) (12) 4
5 5 2
f x dx f x dx f x dx
2 2 2
( ) ( ) ( ) 6 4 2
2 5
g x dx g x dx
5 2
( ) ( ) 2
5 5
g x dx g x dx
2 2
( ( )) ( ) (2) 2
5 f ( x) g( x) 1
5
1
5
dx f ( x) dx g( x) dx 1
(6)
1
(2)
8
2 5 5 2 5 2
5 5 5
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