Thomas Calculus 13th [Solutions]

1120 Chapter 15 Multiple Integrals
17.
2
1 x
1 4
2
M 7 31
1 0 (7 y 1) dy dx x x dx
1 2 15
;
2
1 x
1 5
3
M 7
1 0 (7 1) x
y x y dy dx x dx
1 2
0 x 0 and y 13
31 ;
2
1 x 2 1 6
7 4
I (7 1)
x
7
y x y dy dx x dx
1 0 1 2 5
2
1 x
1 6 4
M 7 13
1 0 (7 1) x x
x y y dy dx dx
1 3 2 15
;
18.
20 1 20
M
0 1 1 x dy dx
20 0
2 x dx
10
60;
20 1 20 2
M 1 x
2 x 2000 100
y x dy dx x dx x and y 0;
0 1 20 0 10 3 9
20 1 2 2
20
I
0 1 1 x
20 3 0
1 x
x y dy dx dx
20
20
20 1 20
y
M 1 x
1 x
x y dy dx dx 0;
0 1 20 0 20 2
1
2
1
19.
1 y
1 2
M 5
0 ( y 1) dx dy
y
0
2 y 2 y dy
3
; 1 y
1 3 2
M 7
x y
0 ( y 1) dx dy
y
2 y y dy
0
6
;
1 y
1
M y x( y 1) dx dy 0 dy 0 x 0 and 7
0 y
0
y 10 ; 1 y 2
Ix
y ( y 1) dx dy
0 y
1 4 3 9
0 2y 2 y dy 10
; 1 y 2 1 4 3
I 1
3 6
y x ( y 1) dx dy 2y 2y dy I
0 y
3 0
10 o I x I y 5
20.
M
1 y 2 1 3 3
0 x 1 dx dy
y
0
y 2 y dy
2
1 y 2 1 4 2
M 16
x y
0 x 1 dx dy
y
0
y 2 y dy
15
M y
1 y 2
x 3x 1 dx dy 0 x 0 and 32
0 y
45 ; 1 y 2 2 1 5 3
I 5
x y
0 x 1 dx dy
y
0
y 2 y dy
6
I y
1 y 2 2 1
3 5 1 3
x 3x 1 dx dy 2 y y dy 11 I 6
0 y
0 5 3 30 o Ix I y 5
21.
a b c 2 2 a b 2
3 a 3 3 abc b c
2 2
I c cb c b M
x y z dz dy dx cy dy dx dx b c where
0 0 0 0 0 3 0 3 3 3 3
2 2
M abc; I M
y a c and
3
2 2
I M
z a b , by symmetry
3
2 2
4 2 y
3 4 (4 2 y)/3 2 2
22. The plane z is the top of the wedge I
3
x
y z dz dy dx
3 2 4/3
3 4 2 3 3
3
8y 2 y 8(2 y) 64 dy dx 104 dx
3 2 3 3 81 81 3 3
3 4 3 2 2
3
(4 2 y) x (4 2 y) 4x 64 2
dy dx 12x 32 dx 280;
3 2 81 3 3 81 3 3
3 4 (4 2 y)/3 2 2
208; I y
x z dz dy dx
3 2 4/3
3 4 (4 2 y)/3 2 2 3 4 2 2 8 2 y
3 2
Iz
x y dz dy dx x y dy dx 12 x 2 dx 360
3 2 4/3 3 2 3 3
3
1 1 4 1 1 2 1
23. M 4 2 32
2 dz dy dx
0 0 4 4 0 0 4 4 y dy dx
y
16 dx
0 3 3
;
1 1 4
M xy 4
2 z dz dy dx
0 0 4 y
2 1 1 4 128
1
128 12
0 0 16 16 y dy dx dx z
5 0 5 5
, and x y 0, by symmetry;
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.