Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 17.3 Applications 1017
! ! !
1 25
2
25 dy dy
2 32 32 dt2
dt
œ Ê
5 65 5 7 7
œ
8
Ê
12
8
œ
24
Ê œ
24
2
in v ft w v 25 dy
7 w v 25 # # 256
! sec 12 sec
12 32 dt2
24
12 32 5
9. 20 œ k † Ê k œ 40; w œ 25 lb Ê m œ ; $ œ 0 Ê 0 † 40y œ !. If w œ 25 lb, it stretches the spring
25 40x x ft spring is now stretched ft below equilibrium y 0 ; initial velocity is
v œ Ê y ! œ . Thus we have 40y œ !, y 0 œ , y ! œ Ê r 40 œ ! Ê r œ !
16 16 16 16 16 7 7
È5 1 È5 2 È5 1 È5 2 È5
24 1 24
0t
Ê r œ 0 „ i Ê y œ e † Š c cosŠ t‹ c sinŠ t‹ ‹ œ c cosŠ t‹ c sinŠ t ‹, y0
œ Ê c œ ;
v 5
È5 1 È5 È5 2 È5 12 È5
2 12 2 192
7 16 v È 5 16
7 16 v È5
16
! !
24 È5 192 È5 2 È5 16 È5
È
! ! ! w 16
y œ c sinŠ 16
t‹
16
c cosŠ 16 w
t ‹, y ! œ
v
Ê
16
c œ
v
Ê c œ
Ê y
t œ cosŠ t‹ sinŠ t ‹ (in feet) or y t œ cosŠ t‹ sinŠ t ‹ (in inches)
25
2 dy dy 25 w
2 25
4 dt dt 4 4
2 12„ È1224425
3
3 t
24
2
1 2
10. m œ 1, k œ , $ œ 3 Ê 1 † 2 3 y œ !, y0 œ 1, y ! œ 3 Ê r 3r
œ !
Ê 4r 12r 25 œ 0 Ê r œ œ „ 2i Ê y œ e 2 c cos 2t c sin 2t
3 w
Ê y œ e 2 t ˆ ˆ 3 c 2c ‰ cos 2t ˆ 2c 3 c ‰ sin 2t ‰
w
; y0 œ 1 Ê c œ 1, y ! œ 3 Ê 3 c 2c œ 3
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
3 t
3
4
3 2 ˆ ‰
4
Ê c œ 1, c œ Ê y t œ e cos 2t sin 2t
1 2
2
5 1 40
11. mg œ 10 Ê m œ ; 10 œ k † Ê k œ 60; œ œ 5È 5 dy
2 Ê 5È dy
1 w
2 60y œ !, y0 œ , y ! œ 0
16 6
$
È32
16 dt2
dt 4
2
16È2„ ÊŠ 16È2‹ 41192
5 2
Ê r 5È 2
2 r 60 œ ! Ê r 16È2r 192 œ 0 Ê r œ œ 8È2 „ 8i
16 21
8È2t w 8È2t
Ê y œ e c cos 8t c sin 8t Ê y œ e Š Š 8È2 c 8c ‹ cos 8t Š 8c 8È2 c ‹ sin 8t ‹;
1 2 1 2 1 2
1 1 w 1 È2 8È2t
1
È2
4 1 4 1 2 1 4 2 4 4 4
y0 œ Ê c œ , y ! œ 0 Ê 8È2 c 8c œ 0 Ê c œ , c œ Ê y œ e Š cos 8t sin 8t‹
8È2t 1 È2 1 È2
1
4 4 4 4
È2
Solve y t œ 0 Ê e Š cos 8t sin 8t‹
œ 0 Ê cos 8t sin 8t œ 0 Ê tan 8t œ Ê t ¸ 0.3157 sec
1
2 dy dy 1 w 1 2
2 dt dt 6 6
2 0 t
1 2 1 2 w 1 2
1 1 w 1 1 1 1 1 1
œ
6
Ê 1 œ
6
! œ
6
Ê 2 œ
6
Ê 1 œ
6 2 œ
48
Ê œ
6
48
œ
1 1
1
Ê
6
48 œ Ê œ Ê ¸ œ
8
12. w œ mg; mg œ k † Ê k œ 2mg œ 64m; $ œ 0 Ê m 2 0 † 64m y œ !ß y0 œ , y ! œ Ê m r 64m œ !,
Ê r 64 œ 0 Ê r œ 0 „ 8i Ê y œ e c cos 8t c sin 8t œ c cos 8t c sin 8t Ê y œ 8c sin 8t 8c cos 8t
y0 c , y 8c c , c yt
cos 8t sin 8t
(a) Solve y t 0 cos 8t sin 8t 0 tan 8t 8 t 0.1808, first positive solution is t 0.1808
¸ 0.2119 sec
w
w
(b) y œ 4 sin 8t 1 cos 8t, solve y t œ0 Ê 4 sin 8t 1 cos 8t œ0 Êtan 8t œ 1 Êt ¸0.4082 sec
3 6 3 6 8
Ê y0.4082
¸ 0.1680 ft
ww 32 4 ww 32 4
tan 8
3 3 3 3 8
œ 1 8 Ê y
1
1 w
8 1
8 4
Š
8
4‹
(c) y œ cos 8t sin 8t, solve y t œ0 Ê cos 8t sin 8t œ0 Êtan 8t œ8 Êt œ , first positive
solution where maximum occurs is at t
1 1
tan 8 tan 8
1 1
3 8 4 6 8 4 3 6
4 1 1 1 4 1
œ sin 8Š ‹ cos 8Š ‹ œ sin tan 821 cos tan 821
4 1 1 1
1 1
3 6
œ csin tan 8cos 21costan 8sin 21d ccos tan 8cos 21sin tan 8sin 21d
4 8 1 1 65 1 ft 1 in
œ ’ 0“ ’ 0“ œ œ È65 Ê12Š È65‹
œ2È65 . Note that 2È2g 1 œ2È65
3 È65 6 È65 6È65
6 sec 6 sec
when g œ 32.
2
13. First weight: w œ10 lb Êm œ ; 10 œ k † ˆ ‰
dy dy
w
Êk œ12 ; $ œ0 Ê 0 † 12y œ! , y0 œ , y ! œ
5 5 lb 5 1 1
16 6 ft 16 dt2
dt 6 3
5 2 2 8È15 0
16r 12 5r 192 0 r 0
5
i y e t 8È15 8È15
Š c1cos 5
t c2sin 5
t‹
Ê œ ! Ê œ Ê œ „ Ê œ
8È15 8È15 w 8È15 8È15 8È15 8È15
1 1 w
1
1 5 2 5 5 1 5 5 2 5 6 1 6 3
œ c cos t c sin t Ê y œ c sin t c cos t; y0
œ Ê c œ , y ! œ
8 È 15 1 1 È 15 1 8 È 15 È 15 8 È 15 1 # È 15
5 2 3 1 6 2 72 6 5 72 5 6 72
Ê c œ Ê c œ , c œ Ê y œ cos t sin t. The amplitude is C œ ʈ ‰ Š ‹
œ È 159 .
72
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.
#