Thomas Calculus 13th [Solutions]

812 Chapter 11 Parametric Equations and Polar Coordinates
2 y
t 1 t dy y 2 dy 2 t 1
y y 4 y t 1
dt
y ;
2 1 dt
thus dy
y t
1
t
t
2 y ( t 1) 2t t 1 dx
y
y
dy/
dt
dx/
dt
3/2 1/2
t 0 x 2x 0 x 1 2x 0 x 0; t 0 y 0 1 2(0) y 4 y 4;
y y 4 y t 1
2 y ( t 1) 2t t 1
2t
1
1 3x
1/2
;
therefore
dy
dx t
0
4 4 4(4) 0 1
2 4(0 1) 2(0) 0 1
2(0) 1
1/2
1 3(0)
6
18.
1 x cos t
x sin t 2x t dx sin t x cos t 2 dx 1 (sin t 2) dx 1 x cos t dx ;
dt dt dt dt sin t 2
dy dy sin t t cos t 2
t sin t 2t y sin t t cos t 2 ; thus
dt dx 1 x cos t ; t x sin 2 x x ;
2
therefore
dy
dx t
sin cos 2 4 8
2
1
2
cos
sin 2
4
sin t 2
19.
3
3 2 2
x t t, y 2t 2x t dx 3t
1,
dt
dy 2t
2 dy 2(1) 2
1
dx 2 2
3t
1 dx
t 1 3(1) 1
dy 2 dy 2 2
6t 2 dx 2t 2 3t 1 2t 6t 2t
2
dt dt dt
20. t ln( x t),
y te t
1 1 dx 1 dx 1 dx 1,
x t dt x t dt dt
x t dy te
t e
t
dt
;
t 0 0 ln( x 0) x 1
0 0
dy (0) e e 1
dx t 0
1 0 1 2
dy t t
te e
dx x t 1 ;
21.
2 2 2 2 2 2 2
2
A y dx a(1 cos t) a(1 cos t) dt a 1 cos t dt a 1 2cos t cos t dt
0 0 0 0
2 2 1 cos 2 2 2
3 1 2 3
1
2
0 1 2cos t
a t dt a
2 0 2 2 cos t
2 cos 2 t dt a t
2 2sin t
4
sin 2 t
0
2 2
a (3 0 0) 0 3 a
22.
1 1 2 t
2
t
A x dy t t e dt u t t du (1 2 t) dt;
dv e dt v e
0 0
1
t 2 1 t
t
t
e t t e (1 2 t)
dt u 1 2t du 2 dt;
dv e dt v e
0 0
1 1 1
1
t 2 t t t 2 t t
e t t e (1 2 t) 2 e dt e t t e (1 2 t) 2e
0 0 0
0
1 1 1 0 0 0 1
e (0) e ( 1) 2 e e (0) e (1) 2e 1 3e
1 3
e
t
23.
2 0 2 0 ( sin )( sin ) 2 2
1 cos 2
0 sin 2 t
A y dx b t a t dt ab t dt ab dt ab
0 2
0
(1 cos 2 t ) dt
ab t 1 sin 2 t ab ( 0) 0 ab
2 0
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