Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 6.2 Volumes Using Cylindrical Shells 449
28. (a)
(b)
(c)
(d)
d 2 2 4 2 2 4 2
5
shell shell y y y 2 y 3 y
V 2 radius height dy 2 y dy 2 y y dy 2 y dy
c
0 2 4 2 0 4 0 4
4 6 2
y y
4 6
2 2 2 2 32 1 4 32 1 1 32 2 8
4 24 4 24 4 24 4 6 24 3
0
d 2 2 4 2 2
4
shell shell y y y 2 y
V 2 radius height dy 2 (2 y) dy 2 (2 y)
y dy
c
0 2 4 2 0
4
2 2 2 3 2
16 32 16 64 8
0
2 y y
2 4 2 y y y y
y y dy
3 10 4 24 2 3 10 4 24 5
0
4 5 3 5 4 6 2
d 2 2 4 2 2
4
shell shell y y y 2 y
V 2 radius height dy 2 (5 y) dy 2 (5 y)
y dy
c
0 2 4 2 0
4
2 2 2 5 4 3
5 5
40 160 16 64
0
5 y
4 4 2 y y y y
y y y dy
3 20 4 24 2 3 20 4 24
8
0
5 3 5 4 6 2
d 2 2 4 2 2
4
shell shell 5 y y y 5 2 y
V 2 radius height dy 2 y dy 2 y y dy
c
0 8 2 4 2 0 8 4
2 2 3 y 5 2 5 4
5 5
16 64 40 160
0 4 8 32 2 y y y y
y y y dy
4 24 24 160 2 4 24 24 160
4
0
5 4 6 3 5 2
29. (a) About x-axis:
V
d
2
c
shell
radius
shell
height
dy
1 1 3/2 2
2 y y y dy 2 y y dy
0 0
5/2 3
1
2 2 y 1 y 2 2 1 2
5 3 0 5 3 15
About
y-axis:
V
b
2
a
shell
radius
shell
height
1 2 1 2 3
2 x x x dx 2 x x dx
0 0
dx
3 4
2 x x
1 2 1 1
3 4
0
3 4 6
2 b 2 2 1 2 4
(b) About x -axis: R( x)
x and r( x) x V R( x) r( x)
dx x x dx
a
0
About
3
x
5
x
1 1 1 2
3 5
0
3 5 15
y -axis: R( y)
y and
d
2 2 1 2
r( y) y V R( y) r( y)
dy y y dy
c
0
2
y
3
y
1 1 1
2 3
0
2 3 6
30. (a)
b 2 2 4 2
2
V R ( x ) r ( x ) dx x
a
0 2
2 x dx
4
3 2 2
x
0 4 2 x 4 dx x x
4
4 x
0
16 16 16 16
3 4
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