Thomas Calculus 13th [Solutions]

158 Chapter 3 Derivatives
82. g( x) x g ( x)
g 1 and 1
2
g ; f ( u)
u sec u f ( u) 1 2 sec u sec u tan u
4 4 4
2 1
2
1 2sec u tan u f g f 1 2sec tan 5; therefore, ( f g)
1 f g 1 g 1
4 4 4 4
4
4 4
5
83.
2
g( x) 10x x 1 g ( x)
20x 1 g(0) 1 and g (0) 1; f ( u) 2u
2
u 1
2
2u
2
2
( u
2
1)
f ( g(0)) f (1) 0; therefore, ( f g ) (0) f ( g(0)) g (0) 0 1 0
f ( u)
2
u 1 (2) (2 u)(2 u)
u
2
1
2
84. g ( x ) 1 1 g ( x 2
) 2 g( 1) 0 and g ( 1) 2; f ( u)
u 1 f ( u)
2 u 1 d u 1
2
x
x
3
u 1
u 1 du u 1
( 1)(1) ( 1)(1)
2 u 1 u u 2( u 1)(2) 4( u 1)
f ( g ( 1)) f (0) 4; therefore,
u 1 2
3 3
( u 1) ( u 1) ( u 1)
( f g) ( 1) f ( g( 1)) g ( 1) ( 4)(2) 8
85. y f ( g( x)), f (3) 1, g (2) 5, g(2) 3 y
( 1) 5 5
f ( g( x)) g ( x)
y f ( g(2)) g (2) f (3) 5
x 2
86.
r sin( f ( t)), f (0) , f (0) 4
dr
3
dt
cos( f ( t)) f ( t) dr
dt t
0
cos( f (0)) f (0) cos 4 1
3 2
4 2
dy
dy
87. (a) y 2 f ( x)
2 f ( x)
2 f (2) 2 1 2
dx
dx x 2
3 3
dy
dy
(b) y f ( x) g( x)
f ( x) g ( x )
f (3) g (3) 2 5
dx
dx x 3
dy
dy
(c) y f ( x) g( x)
f ( x) g ( x) g( x) f ( x )
f (3) g (3) g(3) f (3)
dx
dx x 3
3 5 ( 4)(2 ) 15 8
( )
(d) y f x dy g( x) f ( x) f ( x) g ( x)
dy g(2) f (2) f (2) g (2) (2)
1
(8)( 3)
3
37
g( x)
dx [ g( x)] 2
dx
2
2
x 2 [ g(2)]
2 6
dy
dy
(e) y f ( g( x))
f ( g( x)) g ( x )
f ( g(2)) g (2) f (2)( 3) 1 ( 3) 1
dx
dx x 2
3
1
1/2 dy
1/2
( )
(f ) y ( f ( x))
1
f x dy f (2) 3
( f ( x)) f ( x)
1 1 2
dx 2 2 f ( x) dx
x 2 2 f (2) 2 8 6 8 12 2 24
2 dy
3
dy
3
3
(g) y ( g( x))
2( g( x)) g ( x)
2( g(3)) g (3) 2( 4) 5 5
dx
dx x 3
32
2 2 1/2 dy
(h) y (( f ( x)) ( g( x)) )
1 2 2 1/2
(( ( )) ( ( )) )
dx 2 f x g x (2 f ( x) f ( x) 2 g( x)
dy
g ( x))
dx x 2
1 2 2 1/2
(( f (2)) ( g (2)) ) (2 (2) (2) 2 (2) (2))
2 f f g g 1 2 2 1/2
(8 2 ) (2 8 1 2 2 ( 3)) 5
2 3
3 17
88. (a)
dy
dy
y 5 f ( x) g( x)
5 f ( x) g ( x ) 5 f (1) g (1) 5 1 8
dx
dx x 1
3 3
1
3 dy
2 3 dy
(b) y f ( x)( g( x)) f ( x)(3( g( x)) g ( x)) ( g( x)) f ( x)
dx
dx x 0
2 3 2 1 3
3 f (0)( g(0)) g (0) ( g(0)) f (0) 3(1)(1) (1) (5)
3
6
(c) y f ( x)
dy ( g( x) 1) f ( x) f ( x) g ( x)
dy ( g(1) 1) f (1) f (1) g (1) ( 4 1)
1
(3)
g( x) 1 dx ( g( x) 1)
2
dx
2
2
x 1 ( g(1) 1)
( 4 1)
(d)
dy
dy
y f ( g( x))
f ( g( x)) g ( x)
f ( g(0)) g (0) f (1) 1 1 1 1
dx
dx x 0
3 3 3 9
(e)
dy
dy
y g( f ( x))
g ( f ( x)) f ( x ) g ( f (0)) f (0) g (1)(5) 8 (5) 40
dx
dx x 0
3 3
8
3 3
1
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