Thomas Calculus 13th [Solutions]

1058 Chapter 14 Partial Derivatives
w
x
y,
z
2x 1. On the other hand, if x, y, and t are independent, then
w w x w y w z w t (2 x)(1) ( 2 y)(0) 4 z (1)(0) 2x
4 z .
x y,
t x x y x z x t x x x
Thus, x 2 z t 25 1 2 z 0 0 z 1 w
1
2 2 x
x x x 4 ,
2
2 x 2.
y t
f f y f f f y
9. If x is a differentiable function of y and z, then f ( x, y, z) 0 x
z 0 0
x x y x z x x y x
x f / y
y f / z
. Similarly, if y is a differentiable function of x and z,
and if z is a
y
z
f / z
z
x
f / x
/
differentiable function of x and y, z f x
. Then x y z f / y f / z f / x
x y f / y
y
z
z
x
x y f / z f / x f / y
1
df
df
10. z z f ( u ) and u xu z 1 u 1 y ; also z df
0 u df
x so that
x du x du y du y du
df df
x z y z x 1 y y x x
x y du du
11. If x and y are independent, then g( x, y, z ) 0
g x g y g z 0 and x g g
0 z
x y y y z y
y y z y
0
z g / y
, as claimed.
y
x
g / z
y
12. Let x and y be independent, Then f ( x, y, z, w) 0, g( x, y, z, w ) 0 and 0
x
f x f y f z f w f f z f w 0 and
x x y x z x w x x z x w x
g x g y g z g w g g z g w 0
x x y x z x w x x z x w x
f
x
f z f w f
g g f g g f f g f g
z x w x x x w x w x w x w w x
imply z
, as claimed.
g f f f g g f f g f g
z g w g x y
z w z w z w z w w z
z x w x x
g
z
f
w
g
w
Likewise, f ( x, y, z, w) 0, g( x, y, z, w ) 0, and
x f f y f f f f f
0 x z w z w
g g
0 and (similarly) z g w 0
y x y y y z y w y y z y w y
y z y w y
f
z
f
y
f z f w f
g g f g g f f g f g
z y w y y z y z y z y z y y z
imply w
, as claimed.
g f f f g g f f g f g
z g w g y
x
z w z w z w z w w z
z y w y y
g
z
g
w
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.