Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 14.4 The Chain Rule 1001
w 2x v v 2 y v v 2z
v
u x y z x y z x y z
10. (a) e sin u ue cosu e cosu ue sin u e
2 2 2 2 2 2 2 2 2
v
2ue sin u v v 2 cos
v v
e sin u ue cosu ue u e cosu ue sin u
2 2v 2 2 2v 2 2 2v 2 2v 2 2 2v 2 2 2v
u e sin u u e cos u u e u e sin u u e cos u u e
v
2ue
v
e 2
2 2v 2 2 2v 2 2 2v
u e sin u u e cos u u e
u
w 2x v 2 y v 2 v
ue sin u ue cosu z ue
v 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
v
2 ue sin u v
2 cos
v
ue sin u ue u ue cos u
2 2v 2 2 2v 2 2 2v 2 2v 2 2 2v 2 2 2v
u e sin u u e cos u u e u e sin u u e cos u u e
2ue
u e sin u u e cos u u e
2 2v 2 2 2v 2 2 2v
v
v
ue
2 2v 2 2 2v 2 2 2v 2 2v w 2
u u
w ln u e sin u u e cos u u e ln 2 u e ln 2 2 ln u 2 v and 2
w
u
(b) At ( 2, 0) : 2
1
2
and
w
2
v
;
2;
v
v
w
v
u u p u q u r 1 r p p q q r r p p q
x p x q x r x q r ( q r) ( q r) ( q p)
11. (a)
2 2 2
u u p u q u r 1 r p p q q r r p p q 2 p 2r
y p y q y r y q r 2 2 2 2
( q r) ( q r) ( q r) ( q r)
(2x 2 y 2 z) (2x 2 y 2 z)
z
(2z 2 y) ( z y)
2 2
q r r p p q 2q 2 p 4 y y
2 2 2 2
( q r) ( q r) (2z 2 y) ( z y)
u ( z y) y( 1) z
y ( z y) ( z y)
2 2
u
x
u
y
;
u u p u q u r 1 r p p q
z p z q z r z q r ( q r) ( q r)
u ( z y)(0) y(1)
y
z ( z y) ( z y)
, and
2 2
1
(1 2)
(b) At 3, 2, 1 : 0, 1, and
2
2
u
z
;
0;
p q 2 y y
u
u
q r 2z 2 y z y x
2
(1 2)
2
2 2
0;
12. (a)
qr qr z ln y
u e qr 1 qr 1 cos cos z
(cos x) re sin p (0) qe sin p (0)
e x e x y if
x
2 2 2
1 p 1 p 1 sin x
2 1 2 1
qr
2
qr
sin z
u e z
z re p z
y 2
y y y
u
(b) At
1
p
qr 1 qr 1
y x
z 1
(0) re sin p qe sin p (0) xzy ;
z
2 x 2 ;
qr
e
qr 1 qr 1 1 qr 1
qe sin p
(0) re sin p (2z ln y) qe sin p 2zre sin p (ln y)
1 p
z 2
2 2
z z
2 2
ln )
(2 z ) 1 z
z y y x
z
ln ln ;
z
y x y xy y z ln y 1
z
u e sin (sin x)
xy if
2
z
u z 1
xzy
y , and u z
xy ln y from direct calculations
z
1 1 1
1 2
, , : u
2,
4 2 2 x 2
2 ln 2
4
u
y
1 1
( 1 2) 1
2
4 2 2 4 ,
u
z
qr
x u z
y ,
2 2 x
1
1 2
ln 1
4 2 2
1
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