Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 17.5 Power-Series Soutions 1023
17.5 POWER-SERIES SOLUTIONS
∞ ∞ ∞ ∞
ww w
1. y 2y œ 0Ê n 2
nn1cx 2 n 1
ncx œ 0Ê n 2
nn 1cx n 1
2ncx œ 0
n n n n
nœ2 nœ1 nœ2 nœ1
power of x
coefficient equation
0
x 21c 2 21c 1 œ 0 Ê c2 œ c1
1
2 2
x 32c 3 22c 2 œ 0 Ê c3 œ 3c2 œ
3c1
2
1 1
x 43c 4 23c 3 œ 0 Ê c4 œ 2c3 œ 3c1
3
x
54c 5 24c 4 œ 0 Ê c5 œ 2 c4 5
œ
15c1
4
1 2
x 65c 25c œ 0 Ê c œ 3c œ 45c
ã ã ã
n
x n2n1c 2n 1c œ 0 Ê c œ
2
c
6 5 6 5 1
n2 n1 n2 n2
n1
2 2 2 2 2 2
2
or cn œ ncn1 œ ˆ ‰ˆ
n
n cn2‰ œ ˆ ‰ˆ
n
‰ˆ
n
n 2cn3‰
" "
œ
n 1
nx
c 1, n 2. Thus
2 2 3 1 4 2 5 2 6
yœ c cxcx cx cx cx cx á œ c cˆ 2 2 3 1 4 2 5 2 6
xx x x x x á‰
0 1 1 3 1 3 1 15 1 45 1 0 1
3 3 15 45
c1 c1 c1 c1 2x 2 c1 2x 3 c1 2x 4 c1 2x 5 c1
2x
6
0 2 2 2
2 2x 2 3x 2 4x 2 5x 2 6x
c1 c1 2x c c
0 Š 2 2x 3 2x 4 2x 5 2x 6 ∞
1 1
‹ 0
2x
n
2 2 2x 3x 4x 5x 6x 2 2 nx
nœ0
c1 c1 2x
2x
c1 c1
0 2 2 0 2 2
or y œ c 2x á
y œ ˆ c ‰ 1 2x á œ ˆ c ‰
œ ˆ c ‰ e œ a be , where a œ c and b œ
∞ ∞ ∞
ww w
2. y 2 y y œ 0 Ê n 2
n n 1 c x 2 n 1
n c x n
c x œ 0
n n n
nœ2 nœ1 nœ0
∞ ∞ ∞
n2 nn 1c x n1 n 2ncnx n
cnx 0
nœ2 nœ1 nœ0
Ê œ
power of x
coefficient equation
0
1
x 21c 2 21c 1 c0 œ 0 Ê c2 œ c1
2c0
1
2 1 1 1
x 32c 3 22c 2 c1 œ 0 Ê c3 œ 3c2
6c1 œ
2c1
3c0
2
1 1 1 1
x 43c 4 23c 3 c2
œ 0
Ê c4 œ 2c3
12c2 œ 6c1
8c0
3
2 1 1 1
x 54c 5 24c 4 c3 œ 0 Ê c5 œ 5c4
20c3 œ
24c1
30c0
4
1 1 1 1
x 65c 25c c œ 0 Ê c œ 3c
30c œ 120c
144c
ã ã ã
n
x n2n1c 2n1c c œ 0 Ê c œ 2 c
1 c
6 5 4 6 5 4 1 0
n2 n1 n n2 n2 n1 n2n1
n
y œ c c xˆ 1
c c ‰ 2
x ˆ 1 1
c c ‰ 3
x ˆ 1 1
c c ‰ 4
x ˆ 1 1 1 1
c c ‰ 5 6
x ˆ c c ‰ x á
0 1 1 2 0 2 1 3 0 6 1 8 0 24 1 30 0 120 1 144 0
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 3 1 4 1 5 1 6
c0 2c0x 3c0x 8c0x 30c0x 144c0x c1x c1x 2c1x 6c1x 24c1x 120c1x
c0ˆ 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
1 x x x x x ‰ 1 1 1 1
2 3 8 30 144
c1ˆ 2 3 4 5 6
x x
2x 6x 24x 120x
‰
n 1
1
1 n1x
. To find the coefficient of c 0, note that:
1 ˆ 1 1 ‰ ˆ 1 1 ‰, 1 1 1 1 1 , 1 ˆ 1 1 ‰ ˆ 1 1 ‰,
1 1 1 1 1
2 2 1x 2x 3 2 6 2x 3x 8 6 24 3x 4x 30 24 120 4x 5x
n 1 n n
1 n n 1
n1 1 1 1 1 1 1 1
0 ’
n1x
nx“ œ
n1x
nx n œ ’
n1x
nx
“ 0
n1x c 1
œ á á
œ á á
Note that in each coefficient equation, the coefficient of c can be given by
œ œ œ œ œ œ œ œ œ
so the coefficient of c can be given by 1 . Thus c c
n n 1 ∞ n n 1
n
n nx 0 n1x 0 1 0 1 nx 0 n1x
0 1
nœ2
∞ n ∞
n 1 ∞ n 1
1 1 1
0 1 0 n n n
n 0
n 1 1
x x n1x
nœ2 nœ2 nœ2
∞ n ∞
n 1 ∞ n 1
1 1 1
0 0 0 n n n
n 0 0
n 1 1 1
x x n1x
nœ2 nœ2 nœ2
∞ n
1
0 n ∞ n 1
1
0 n 1 ∞ n 1
1
1 n 1 ∞ n
1 1
n n 1 n 1 0 n ∞ n 1
n
0 1
n 1
x x x x n1x
nœ0 nœ1 nœ1 nœ0 nœ1
∞ n
∞ k
0
1 n 1
n
0 1
k x x x x
x
kx
0 0 1
0 0 1
nœ0
kœ0
or c 1 c 1 c c for n 2. Thus y c c x 1 c 1
œ œ Š c c ‹
x
œ c c xc x c x c x
œ c c xc x c xc x c xc x
œ c x c x x c x x œ c x c c x x
œ c x c c x x œ c e c c x e œ a e b x e , where a œ c and b œ c c
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