Thomas Calculus 13th [Solutions]

1172 Chapter 16 Integrals and Vector Fields
Clear[x, y, z, t, f, r, v]
f[x_,y_, z_]: [y
[a, b] {0,2 };
x[t_]: 2 Cos[t]
y[t_]: 3 Sin[t]
z[t_]: 1
r[t_]: {x[t], y[t],z[t]}
v[t_]: r [t]
integrand
2
y z Cos[x, y, z], x +x z Cos[x, y, z], z+ x y Cos[x y z]}
f[x[t], y[t],z[t]] v[t]/Simplify
NIntegrate[integrand (t, a, b}]
16.3 PATH INDEPENDENCE, POTENTIAL FUNCTIONS, AND CONSERVATIVE FIELDS
P N M P N M
y z z x x y
1. x , y , z Conservative
P N M P N M
y z z x x y
2. x cos z , y cos z , sin z Conservative
P
y
3. 1 1
N
z
N
x
Not Conservative 4. 1 1 Not Conservative
M
y
N
x
5. 0 1
M
y
Not Conservative
P N M P N x M
y z z x x y
6. 0 , 0 , e sin y Conservative
7.
2 2
f 2 f g 3 2 3 x y y
2 2
2 x f ( x, y , z) x g( y, z) 3 y g( y, z) h( z) f ( x, y, z) x h( z)
f
z
2 2 3y
2
2
h ( z) 4 z h( z) 2 z C f ( x, y, z) x 2z C
2
f f g g
x y y y
8. y z f ( x, y, z) ( y z) x g( y, z) x x z z g( y, z) zy h( z)
f
z
f ( x, y, z) ( y z) x zy h( z) x y h ( z) x y h ( z) 0 h( z) C f ( x, y, z)
( y z)
x zy C
9.
f y 2z y 2z f y 2z g y 2z
g
x y y y
e f ( x, y, z) xe g( y, z) xe xe 0 f ( x, y, z)
y 2z f y 2z y 2z y 2z
( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( , , )
z
xe h z xe h z xe h z h z C f x y z xe C
f f g g
x y y y
10. y sin z f ( x, y, z) xy sin z g( y, z) x sin z x sin z 0 g( y, z) h( z)
f
z
f ( x, y, z) xy sin z h( z) xy cos z h ( z) xy cos z h ( z) 0 h( z) C f ( x, y, z)
xy sin z C
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