Thomas Calculus 13th [Solutions]

694 Chapter 9 First-Order Differential Equations
19.
dy
dx
2 2
3 x y x . Let
2 3
3x dx x
v ( x) e e . So
3 3 3 3 3
x 2 x 2 x x 2 x
e y 3x e y x e d e y x e
dx
3 3
x 1 x
e y e C . We have
3
1 4 x
y e
3 3
3
3 3
0 1 0
y(0) 1 e 1 e C 1 1 C C 4 and
3 3 3
3 3
x 1 x
e y e 4
3 3
20. xdy y cos x dx 0 xy y cos x 0 y 1 cos x .
x
y x
Let
ln
( )
x dx x
v x e e x.
So xy x 1 cos d cos cos sin .
x
y x dx
xy x xy x dx xy x C
We have
y 0 0 1 1.
2 2
C C So xy 1 sin x y 1 sin x
x
1
21.
22.
3 x
2 2
( 2) 3 x
x
dx 2ln
x
x x x
xy x y x e y y 3 x e . Let v ( x) e e e .
x
2
x
x x x x
So e e x d e e
2 2 2 2
y 2 3 3 3 .
x x x
y dx
y y x C We have y (1) 0 0 3(1) C C 3
x x
e x 2 x
y 3x 3 y x e (3x
3)
2
x
3x xy 2
y dx 3x xy 2 dy 0 dx 0 dx 3x x 2 dx 3 1 x 2 .
dy y dy y y dy y y
3
3ln y y 3 y
P( y) 1 P( y) dy 3ln y y v( y)
e y e
y
3 y 3 y 3 2 y 3 y 2 y y 2
y e x y e 1 x 2y e y e x 2y e dy 2e y 2y 2 C
y
x 2
2
y
.
3
2 y 2 y 2 Ce
y We have
x
2(1 2 2) Ce
y(2) 1 1 C 4e and
2
1
3
y
2 y 1
2 y 2 y 2 4e
x
23. To find the approximate values let yn yn 1 yn 1 cos x n 1 (0.1) with x0 0, y 0 0, and 20 steps. Use a
spreadsheet, graphing calculator, or CAS to obtain the values in the following table.
x
y
0 0
0.1 0.1000
0.2 0.2095
0.3 0.3285
0.4 0.4568
0.5 0.5946
0.6 0.7418
0.7 0.8986
0.8 1.0649
0.9 1.2411
1.0 1.4273
x
y
1.1 1.6241
1.2 1.8319
1.3 2.0513
1.4 2.2832
1.5 2.5285
1.6 2.7884
1.7 3.0643
1.8 3.3579
1.9 3.6709
2.0 4.0057
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