Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 14.9 Taylors Formula for Two Variables 1053
x x x
x x e x
e e
1 y 1 y (1 y)
5. f ( x, y) e ln (1 y) fx e ln (1 y), f y , fxx e ln (1 y), fxy , f yy
2
1 2 2
f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
1 2 2 1 2
0 x 0 y 1 x 0 2xy 1 y ( 1) y 2 xy y , quadratic approximation;
2 2
x x x
x
f ln(1 ), e , e , 2e
xxx e y fxxy f
1 y xyy f yyy
(1 y) (1 y)
2 3
1 3 2 2 3
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
1 2 1 3 2 2 3
y 2xy y x 0 3x y 1 3 xy ( 1) y 2
2 6
1 2 1 2 2 3
y 2xy y 3x y 3xy 2 y , cubic approximation
2 6
f ( x, y) ln (2x y 1) f 2 , f 1 , f 4 , f 2 , f 1
2x y 1 2x y 1 (2x y 1) (2x y 1) (2x y 1)
6. x y xx 2 xy 2 yy
2
f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) 1 2 2
x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
0 x 2 y 1 1 2 2 1 2 2
x ( 4) 2 xy ( 2) y ( 1) 2x y 4x 4xy y
2 2
(2 x y) 1 2
(2 x y ) , quadratic approximation;
2
fxxx 16 , f 8 4 2
3 xxy , f
3 xyy , f
3 yyy
3
(2x y 1) (2x y 1) (2x y 1) (2x y 1)
f ( x, y) quadratic 1 3 2 2 3
x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
(2 x y) 1 2 1 3 2 2 3
(2 x y) x 16 3x y 8 3xy 4 y 2
2 6
(2 x y) 1 2 1 3 2 2 2
(2 x y) 8x 12x y 6xy y
2 3
(2 x y) 1 2 1 3
(2 x y) (2 x y ) , cubic approximation
2 3
7.
2 2 2 2 2 2
f ( x, y) sin x y fx
2x cos x y , f y 2y cos x y ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
fxx 2cos x y 4x sin x y , fxy 4xy sin x y , f yy 2cos x y 4y sin x y
1 2 2
f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
1 2 2 2 2
0 x 0 y 0 x 2 2xy 0 y 2 x y , quadratic approximation;
2
2 2 3 2 2 2 2 2 2 2
fxxx
12x sin x y 8x cos x y , fxxy
4y sin x y 8x y cos x y ,
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2
fxyy
4xsin x y 8xy cos x y , f yyy 12y sin x y 8y cos x y
1 3 2 2 3
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
2 2 1 3 2 2 3 2 2
x y x 0 3x y 0 3xy 0 y 0 x y , cubic approximation
6
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.