Thomas Calculus 13th [Solutions]

1004 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
4„ É 2
4 4413
24
2
ww w
2
1
20. 4y 4y 13y œ 0 Ê 4r 4r 13 œ 0 Ê r œ œ „ È3 i
1
Ê yœ e Š ccosÈ3xcsinÈ3x‹
2 x 1 2
ww 2 0† x 0†
x
1 2 1 2
21. y œ 0 Ê r œ 0 Ê r œ !, repeated twice Ê y œ c e c x e Ê y œ c c x
ww w 2 2
4x 4x
1 2
22. y 8y 16y œ 0 Ê r 8r 16 œ 0 Ê r 4
œ 0 Ê r œ 4, repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy
dx
dy
dx
2 2
2x 2x
1 2
23. 2 4 4y œ 0 Ê r 4r 4 œ 0 Ê r 2 œ 0 Ê r œ 2, repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy
dx
dy
dx
2 2
3x 3x
1 2
24. 2 6 9y œ 0 Ê r 6r 9 œ 0 Ê r 3
œ 0 Ê r œ 3, repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy
dx
dy
dx
2 2
3x 3x
1 2
25. 2 6 9y œ 0 Ê r 6r 9 œ 0 Ê r 3 œ 0 Ê r œ 3, repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy dy
2 2 3 x 3
3
2 2 x
dx2
dx 2
1 2
26. 4 12 9y œ 0 Ê 4r 12r 9 œ 0 Ê 2r 3
œ 0 Ê r œ , repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy dy
2 2 1
1 x 1
2 2 x
dx2
dx 2
1 2
27. 4 4 y œ 0 Ê 4r 4r 1 œ 0 Ê 2r 1 œ 0 Ê r œ , repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy dy
2 2 1 x 1
1
2 2 x
dx2
dx 2
1 2
28. 4 4 y œ 0 Ê 4r 4r 1 œ 0 Ê 2r 1
œ 0 Ê r œ , repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy dy
2 2 1
1 x 1
3 3 x
dx2
dx 3
1 2
29. 9 6 y œ 0 Ê 9r 6r 1 œ 0 Ê 3r 1 œ 0 Ê r œ , repeated twice Ê y œ c e c x e
2 dy dy
2 2 2 x 2
2
3 3 x
dx2
dx 3
1 2
30. 9 12 4y œ 0 Ê 9r 12r 4 œ 0 Ê 3r 2
œ 0 Ê r œ , repeated twice Ê y œ c e c x e
ww w w
2
31. y 6y 5y œ 0, y0 œ 0, y 0 œ 3 Ê r 6r 5 œ 0 Ê r 5r 1
œ 0 Ê r œ 5 or r œ 1
5x x w 5x x
w
Ê y œ c1e c2e Ê y œ 5c1e c2e ; y0
œ 0 Ê c1 c2 œ 0, and y 0
œ 3 Ê 5c1 c2
œ 3
3 3 3 5x
3 x
Ê c œ and c œ Ê y œ e e
1 4 2 4 4 4
ww
w
2
32. y 16y œ 0, y0 œ 2, y 0 œ 2 Ê r 16 œ 0 Ê r œ 0 „ 4i Ê y œ c1cos 4x c2sin 4x
w
w
Êy œ4c1sin 4x 4c2cos 4x; y0
œ2 Êc1 œ2, and y 0
œ2 Ê4c2 œ2 Êc1 œ2 and c2
œ
Ê y œ 2cos4x 1 2sin4x
ww
w
2
33. y 12y œ 0, y0 œ 0, y 0 œ 1 Ê r 12 œ 0 Ê r œ 0 „ 2È3 i Ê y œ c cos 2È3 x c sin 2È
1 2 3 x
w
Ê y œ 2È3 c sin 2È3 x 2È3 c cos 2È w
3 x; y 0 œ ! Ê c œ 0, and y 0 œ 1 Ê 2È
1 2
1 3 c2
œ 1
1 1
Ê c œ 0 and c œ Ê y œ sin 2È3 x
1 2
2È3 2È3
ww w w
2 1 2
4 3
34. 12y 5y 2y œ0, y0 œ1, y 0 œ1 Ê12r 5r 2 œ0 Ê4r 1$ r # œ0 Êr œ or r œ
1Î4x 2Î3x w 1 1Î4x 2 2Î3x
w
Ê y œ c e c e Ê y œ c e c e ; y0
œ 1 Ê c c œ 1, and y 0
œ 1
1 2 4 1 3 2 1 2
1 2 4 15 4 1Î4x 15 2Î3x
4c1 3c2 1 c 1 11
and c2
11
y
11e 11e
Ê œ Ê œ œ Ê œ
ww
w
2
35. y 8y œ 0, y0 œ 1, y 0 œ 2 Ê r 8 œ 0 Ê r œ 0 „ 2È2 i Ê y œ c cos 2È2 x c sin 2È
1 2 2 x
w
Ê y œ 2È2 c sin 2È2 x 2È2 c cos 2È w
2 x; y 0 œ 1 Ê c œ 1, and y 0 œ 2 Ê 2È
1 2
1 2 c2
œ 2
1
Ê c œ 1 and c œ Ê y œ cos 2È
1
2 x sin 2È2
x
1 2
È2 È2
1
2
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