Thomas Calculus 13th [Solutions]

1010 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
1 1
2 2
c 1 2 1 2
0 sinx cosx 0
w º
tanx cosx
º º
w sinx tanx
º
#
sinxtanx sinx sin x cosxtanx sinx
1 cos x sin x 1 cos x cos x 2 cos x sin x 1
cos x
cosx
º
sin x cos x
º º
sin x cos x
º
18. y ww 2
y œ tan x, x Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê y œ c cos x c sin x Ê y œ cos x, y œ sin x
Ê v œ œ œ sin x † œ and v œ œ
' ' ' '
œ † œ sin x
# # #
sin x cos x 1 cos x 1
Ê v1
œ
cos x
dx œ
cos x
dx œ
cos x
cos x
dx œ cos x sec x dx œ sin x lnksec x tan x k and
v2 œ' sinxdxœ cosxÊ yp
œ sinxlnsecx k tanxkcosxcosxsinx œ cosxlnsecx k tanxk
Ê y œ c1cos x c2sin x cos xlnksec x tan xk
19. y ww 2
y œ sin x Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê y œ c cos x c sin x Ê y œ cos x, y œ sin x
c 1 2 1 2
0 sinx cosx 0
º
w sin x cos x
º º
# w sin x sin x
º
#
sin x
sin x cos x
1 cos x sin x 1 2 cos x sin x 1
º
sin x cos x
º º
sin x cos x
º
Ê v œ œ œ sin x and v œ œ œ sin x cos x
' ' '
# cos 2x " 1 1 1 #
Ê v1 œ sin x dx œ
2
dx œ
4sin 2x
2x, and v2
œ sin x cos x dx œ
2sin x
Ê y œ ˆ 1 1
sin 2x x‰ cos x ˆ 1 #
sin x‰
1 # 1 1 1 #
sin x
œ sin x cos x x cos x sin x sin x cos x
p 4 2 2 2 2 2 2
1 1 1
2x cos x
2sin x y c1cos x c2sin x
2x cos x
œ Ê œ
ww w x 2 #
x x
20. y 2y y œ e Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1
œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1e c2x e
x
x
Ê y œ e , y œ xe
1 2
0 xe e 0
w
x
x
º x x x e e xe
º
# w º x x e e
º
x x 1
1 2
# x ' # x 1 # x x
e xe
# #
x x e x e x xe x e x 1
2
1
4e #
º
e x e xxe xº º
e x e xxe
xº
x 1 x 1 x 1 x
x 1 x x 1 x x x 1 x
2 œ' # #
œ
2
Ê p œ ˆ # #
2 ‰ #
4
ˆ ‰
2
œ
4
Ê œ 1 2
4
Ê v œ œ œ x e and v œ œ œ e Ê v œ x e dx œ x e
and v e dx e y x e e e e x e e y c e c x e e
ww w x 2 #
x x
21. y 2y y œ e Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1
œ 0 Ê r œ 1, repeated twice Ê yc œ c1e c2x e
x
x
Ê y œ e , y œ xe
1 2
0 xe e 0
x
x
w º
e e xe º
w º
e e
º
1 2
#
#
x x
x x # x x
x
xe e '
1
e
# #
x xe x e x e x xe x e x 1
2
º
e x e xxe xº º
e x e xxe
xº
Ê v œ œ œ x and v œ œ œ 1 Ê v œ x dx œ x
1 1 1
and v œ' 1dx œ x Ê y œ ˆ x ‰e xx e œ x e Ê y œ c e c x e x e
# x x # x x x # x
2 p 2 2 1 2 2
ww 2 x x x
c 1 2 1 2
x
0 x
x
e e 0
v w º
x e º
1 x e and v w º
e x
º
xe 1 x xe 1 x 1
x e v x e x 1
dx x e x 1e
x
e e 2 2
x
x x
x
'
2 e e
x x x x 2 2 1 2 2 2
º
ex
e xº º
ex e
xº
22. y y œ x Ê r 1 œ 0 Ê r 1r 1
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê y œ c e c e Ê y œ e , y œ e
Ê œ œ œ œ œ œ Ê œ œ
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x
and v œ ' xe dx œ xe e Êy œˆ
xe e ‰ e ˆ xe e ‰
e œx
2 2 2 2 p 2 2 2 2
x x
1 2
Ê y œ c e c e x
ww x 2 x x x
c 1 2 1 2
x
x
x
0 e
e 0
º x x
w e e º º x x
w e e
º 2x 1 1 e 1 2x
v 1
and v2
e v ' 1 1 1 1
dx x and v ' 2x 2x
e dx e
e e 2 2 e e
x x x x 2 2 1 2 2 2 2 4
º
ex
e xº º
ex e
xº
23. y y œ e Ê r 1 œ 0 Ê r 1r 1
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê y œ c e c e Ê y œ e , y œ e
Ê œ œ œ œ œ œ Ê œ œ œ œ
Ê y œ ˆ 1x‰ e ˆ 1
e ‰ e 1 1 1
œ xe e Ê y œ c e c e xe
x 2x x x x x x x
p 2 4 2 4 1 2 2
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