Thomas Calculus 13th [Solutions]

1020 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
w
y! œ 2 Ê c1 2 œ 2, y ! œ 3 Ê c1 2c2 1 œ 3 Ê c1 œ 0, c1 2c2 œ 2 Ê c1 œ 0, c2
œ 1
t
Ê y
t œ e sin 2t sin t 2cos t; y1
œ 2 Ê 2 m above equilibrium
8 t
2
1 dy dy
t
w
32 4 dt2
dt
1 # # 2t
4t
4
c 1 2
t w t ww t 1 t t t t
p
p
4
2A
3 t t 3 4 2t 4t 4 t
4Be 6 e 2A 6,
4B 1 A 3, B
3
y
t c1e c2e 3
3e
w
y
2t 4t 4 t
13 19 w
2c1e 4c2e 3e ; y 2 c1 c2 3
2 c1 c 2 3
, y 3
2c1 4c2 4 13 21 25 21 2t 25 4t 4 t
3
3 2c1 4c2 3
c 1 2
, c2
6
y t
2
e
6
e 3
3e ;
24. mg œ 8 Ê m œ ; 8 œ k † 4 Ê k œ 2; $ œ 1.5; ft œ 6 e Ê 1.5 2y œ 6 e , y! œ 2, y ! œ 3
Ê r 1.5r 2 œ 0 Ê r 6r 8 œ 0 Ê r 2 r 4 œ 0 Ê r œ 2 or r œ 4 Ê y œ c e c e ;
y œ A Be Ê y œ Be Ê y œ Be Ê Be 1.5 Be 2 A Be œ 6 e
p
Ê œ Ê œ œ Ê œ œ Ê œ
Ê œ ! œ Ê œ Ê œ ! œ
Ê œ Ê œ Ê œ œ Ê œ
y2 ¸ 2.98953 Ê 2.99 ft below equilibrium
#
1
dq dq
w #
500 dt dt
# 1„
È124150
1 È199 1 t
È199 È199
2
21
2 2 c Š 1 2 2 2 ‹
#
25. L œ 10, R œ 10, C œ , Et œ 100 Ê 10 10 500q œ 100ß q0 œ 10, q 0
œ 0 Ê 10r 10r 500 œ 0
Ê r r 50 œ 0 Ê r œ œ „ i Ê q œ e c cos t c sin t
1
p p p
5
1 w 1
2t
È199 È199 1 2t
1 È199 È199 È199 1 È199
1 2 2 2 5
Š
2 1 2 2‹ 2
Š
2 1 2 2‹
2
w ww
q œ A Ê q œ 0 Ê q œ 0 Ê 100100500A œ 100 Ê 500A œ 100 Ê A œ
Ê q t œ e Š c cos tc sin t‹ Ê q œ e ’ c c cos t c c sin t“
1 49 w
1 È199 49 49È199
1 5 1 5 2 1 2 2 1 5 2 995
1 2 t 49 È199 49È199 È199
1
5 2 995 2 5
q0
œ 10 Ê c œ 10 Ê c œ , q 0
œ 0 Ê c c œ 0 Ê c œ , c œ
Ê q t œ e Š cos t sin t‹
# #
dq dq 1 di d q d q dq
w #
dt dt C dt dt dt dt
# 2„
È22415
21
c
t
1 2 p
w
qp
Acos t Bsin t
ww
qp
Asin t Bcos t
# #
26. R œ 4 ; q œ 10q; L œ 2 , Et œ 20cos t Ê 2 4 10q œ 0ß q0 œ 2, q 0
œ 3 Ê 2r 4r 10 œ 0
Ê r 2r 5 œ 0 Ê r œ œ 1 „ 2i Ê q œ e c cos 2t c sin 2t ; q œ Asin t Bcos t
Ê œ Ê œ
Ê 2Asin t Bcos t4Acos t Bsin t10Asin t Bcos t
œ 20cos t
Ê 8A 4Bsin t 4A 8Bcos t œ 20cos t Ê 8A 4B œ 0, 4A 8B œ 20 Ê A œ 1, B œ 2
t
w t
Ê q t œ e c1cos 2t c2sin 2tsin t 2cos t Ê q œ e c1 2c2cos 2t 2c1 c2sin 2tcos t 2sin t;
w t
q0 œ 2 Ê c1 2 œ 2; q 0 œ 3 Ê c1 2c2 1 œ 3 Ê c2
œ 1 Ê qt œ 2e sin 2t sin t 2cos t; y10
¸ 2.222
Ê 2.222 ft above equilbrium
17.4 EULER EQUATIONS
# ww w
2 2
1. x y 2x y 2y œ 0 Ê r 2 1r 2 œ 0 Ê r r 2 œ 0 Ê r 1r 2
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 2
z 2z lnx 2lnx c2
Ê y œ c e c e œ c e c e Ê y œ c x
# ww w
1 2 1 2 1
2 2
2. x y x y 4y œ 0 Ê r 1 1r 4 œ 0 Ê r 4 œ 0 Ê r 2r 2
œ 0 Ê r œ 2 or r œ 2
2z 2z 2ln x 2ln x # c2
Ê y œ c e c e œ c e c e Ê y œ c x
1 2 1 2 1
3. x # y ww 6y œ 0 Ê 2
r 0 1 r 6 œ 0 Ê 2
r r 6 œ 0 Ê r 3r 2
œ 0 Ê r œ 3 or r œ 2
3z 2z 3ln x 2ln x 3 c2
Ê y œ c e c e œ c e c e Ê y œ c x
# ww w
1 2 1 2 1
2 2
4. x y x y y œ 0 Ê r 1 1r 1 œ 0 Ê r 1 œ 0 Ê r 1r 1
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1
z z lnx lnx c2
Ê y œ c e c e œ c e c e Ê y œ c x
# ww w
1 2 1 2 1
2 2
5. x y 5x y 8y œ 0 Ê r 5 1r 8 œ 0 Ê r 6r 8 œ 0 Ê r 4r 2
œ 0 Ê r œ 4 or r œ 2
4z 2z 4ln x 2ln x % #
Ê y œ c e c e œ c e c e Ê y œ c x c x
1 2 1 2 1 2
x
x
#
x
x
#
#
Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley.