Thomas Calculus 13th [Solutions]

1052 Chapter 14 Partial Derivatives
14.9 TAYLORS FORMULA FOR TWO VARIABLES
y
x y y y xx xy y yy
y
1. f ( x, y) xe f e , f xe , f 0, f e , f xe
1 2 2
f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
1 2 2
0 x 1 y 0 x 0 2xy 1 y 0 x xy quadratic approximation;
2
y
y
fxxx 0, fxxy 0, fxyy e , f yyy xe
1 3 2 2 3
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
1 3 2 2 3 1 2
x xy x 0 3x y 0 3xy 1 y 0 x xy xy , cubic approximation
6 2
x x x x x x
2. f ( x, y) e cos y fx e cos y, f y e sin y, fxx e cos y, fxy e sin y, f yy e cos y
1 2 2
f ( x, y) f (0, 0) x fx (0, 0) y f y (0, 0) x f (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0)
2 xx xy fxy y f yy
1 2 2 1 2 2
1 x 1 y 0 x 1 2xy 0 y ( 1) 1 x x y , quadratic approximation;
2 2
x x x x
fxxx e cos y, fxxy e sin y, fxyy e cos y, f yyy e sin y
1 3 2 2 3
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0)
6 xxx x yfxxy xy fxyy y f yyy
1 2 2 1 3 2 2 3
1 x x y x 1 3x y 0 3 xy ( 1) y 0
2 6
1 2 2 1 3 2
1 x x y x 3 xy , cubic approximation
2 6
3. f ( x, y) y sin x fx y cos x, f y sin x, fxx y sin x, fxy cos x, f yy 0
1 2 2
x y 2 xx xy yy
f ( x, y) f (0, 0) x f (0, 0) y f (0, 0) x f (0, 0) 2 xy f (0, 0) y f (0, 0)
1
2
2 2
0 x 0 y 0 x 0 2xy 1 y 0 xy , quadratic approximation;
fxxx y cos x, fxxy sin x, fxyy 0, f yyy 0
1
6
3 2 2 3
xxx xxy xyy yyy
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 x yf (0, 0) 3 xy f (0, 0) y f (0, 0)
1
6
3 2 2 3
xy x 0 3x y 0 3xy 0 y 0 xy , cubic approximation
4. f ( x, y) sin x cos y fx cos x cos y, f y sin x sin y, fxx sin x cos y, fxy
cos x sin y,
f sin x cos y
yy
1
2
1 2 2
x y 2 xx xy yy
f ( x, y) f (0, 0) x f (0, 0) y f (0, 0) x f (0, 0) 2 xy f (0, 0) y f (0, 0)
2 2
0 x 1 y 0 x 0 2xy 0 y 0 x , quadratic approximation;
fxxx cos x cos y, fxxy sin x sin y, fxyy cos x cos y, f yyy sin x sin y
1
6
3 2 2 3
xxx xxy xyy yyy
f ( x, y) quadratic x f (0, 0) 3 x yf (0, 0) 3 xy f (0, 0) y f (0, 0)
1 3 2 2 3 1 3 2
6 6
x x ( 1) 3x y 0 3 xy ( 1) y 0 x x 3 xy , cubic approximation
Copyright
2014 Pearson Education, Inc.