Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 14.3 Partial Derivatives 997
f
77. 3,
x
f
y
2,
2
f
0,
2
x
2 2 2
f f f
0 0 0 0
2 2 2
y x y
f 1/ y y
78.
x 2 2 2
1
x y x
y
,
2
f x/
y x ,
y 2 2 2
1
y x
2 2
2 2 2
x
y
2
f
2 2
y x 0 y 2x
2xy
2
2 2
2
2 2
2
x y x y x
f y x 0 ( x) 2 y 2xy f f 2xy 2xy
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
y y x y x x y y x y x
0
,
79.
f
x
f
y
f
z
2 f
x
2
2 f
y
2
2 f
z
2
1
2
1
2
1
2
2 2 2
3/2
2 2 2
3/2
x y z (2 x) x x y z ,
2 2 2
3/2
2 2 2
3/2
x y z (2 y) y x y z ,
2 2 2
3/2
2 2 2
3/2
x y z (2 z) z x y z ;
2 2 2
3/2
2 2 2 2
5/2
x y z 3 x x y z ,
2 2 2
3/2
2 2 2 2
5/2
x y z 3 y x y z ,
2 2 2
3/2
2 2 2 2
5/2
x y z 3z x y z
2 2 2
f f f
2 2 2
x y z
2 2 2
3/2
2 2 2 2
5/2
x y z 3x x y z
2 2 2
3/2
2 2 2 2
5/2
2 2 2
3/2
2 2 2 2
5/2
x y z 3y x y z x y z 3z x y z
2 2 2
3/2
2 2 2 2 2 2
5/2
3 x y z 3x 3y 3z x y z 0
80.
f 3 4
3e
x y cos5 z,
f 3 4
4e
x y cos5 z,
f 3 4
5e
x y sin 5 z;
x
y
z
2
f 3 4
16e
x y cos5 z,
2
y
2 2 2
2
f 3 4
25e
x y cos5z
2
z
f f f 3 4 3 4 3 4
9e x y cos5z 16e x y cos5z 25e x y cos5z
0
2 2 2
x y z
2
f 3 4
9e
x y cos5 z,
2
x
81. w cos ( x ct),
w c cos ( x ct);
x
t
2 2
w
t
2 2
c sin ( x ct)
c
w
x
2 2
2
w sin ( x ct),
2
x
2
w
2
t
2
c sin ( x ct )
82. w 2sin (2x 2 ct),
w 2c sin (2x 2 ct);
x
t
2 2
w
t
2 2
c 4cos (2x 2 ct)
c
w
x
2 2
2
w 4cos (2x
2 ct),
2
x
2
w
2
t
2
4c cos (2x 2 ct)
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