Thomas Calculus 13th [Solutions]

Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 391
27. sint ln 2 cos
0 2 cos t
dt t 0 ln 3 ln1 ln 3; or let u 2 cos t du sint dt with t 0 u 1 and
sin
3
1
3
t u 3 t
0 2 cos 1
ln 1
ln 3 ln1 ln3
t
dt u
du u
28.
/3
4sin /3
d ln 1 4cos 1
0 1 4cos 0 ln1 ln 3 ln3 ln ; or let u 1 4cos du 4sin d with
3
0 u 3 and
/3
4sin
1
1 1
u 1
3 1 d du
0 1 4cos 3
ln u
u
3
ln 3 ln 3
29. Let u ln x du 1 dx; x 1 u 0 and x 2 u ln 2;
x
2 ln2 2
ln 2
2ln x
2
dx 2 u du u (ln 2)
1 x 0 0
30. Let u ln x du 1 dx; x 2 u ln 2 and x 4 u ln 4;
x
ln(ln 4) ln(ln 2) ln ln 4 ln ln 2 ln 2ln2 ln 2
ln 2 ln2 ln2
2
4
dx
ln 4
1
ln4
ln
2 xln
x ln2 u du u ln2
31. Let ln 1
4
u x du dx; x 2 u ln 2 and x 4 u ln 4; dx
ln4 2 1
ln4
x
2
u du
2 x(ln x)
ln2 u ln2
1 1 1 1 1 1 1 1
ln 2 ln2
ln4 ln2 2
2ln2 ln2 2ln2 ln4
32. Let u ln x du 1 dx; x 2 u ln 2 and x 16 u ln16;
x
ln16 ln 2 4ln 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 ln 2
16 ln16 1/2 1/2
ln16
dx 1
2 2 ln 2
u du u
x x ln2
ln 2
33. Let u cos x du 1 sin x dx 2 du sin x dx; x 0 u 1 and x u 1 ;
2 2 2 2 2 2
/2 /2 sin( /2) 1/ 2 1/ 2 1
0 tan x
dx
2 0 cos( /2) 2 du
1 2ln 1
2ln 2ln 2 ln 2
u
u
2
34. Let u sin t cos t dt ; t u 1
4 and t u
2 2
1;
1
ln u ln 1 ln 2
1/ 2 2
/2 /2
cos
1
/4 cot t dt t dt du
/4 sint
1/ 2 u
35.
2 2 /3 2
/3 /3
tan cos (sec 1)cos sec cos tan cos d sec d cos d
0 0 0
The second integral is
sin
/3 3
0 2
/3 /3 2
sec sec tan
. Rewrite the first integral as
sec tan
0 sec d d
sec tan 0 sec tan
. Let
2
(sec sec tan ) d ; 0 u 1 0 1; /3 2 3;
/3 2
2 3 2 3
2
u sec tan du (sec tan sec ) d
sec sec tan
d 1 du ln u ln 2 3 ; thus the original definite integral is equal to
0 sec tan 1 u
1
3
2
ln 2 3 .
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