Thomas Calculus 13th [Solutions]

1008 Chapter 17 Second-Order Differential Equations
17.2 NONHOMOGENEOUS LINEAR EQUATIONS
ww w 2 5x
c 1 2 2x p
y w 0 y ww 3 5x
p
p 0 0 3 0 10A 3 A y c e c e
2x 3
10 1 2 10
1. y 3y 10y œ3 Êr 3r 10 œ0 Êr 5r 2
œ0 Êr œ5 or r œ2 Êy œc e c e ; y œA
Ê œ Ê œ Ê œ Ê œ Ê œ
ww w 2 5x 2x
2. y 3y 10y œ 2x 3 Ê r 3r 10 œ 0 Ê r 5r 2
œ 0 Ê r œ 5 or r œ 2 Ê yc œ c1e c2e ;
w ww
y œ Ax B Ê y œ A Ê y œ 0 Ê 0 3A 10Ax B œ 2x 3 Ê 10Ax 3A 10B
œ 2x 3
p p p
1 9 5x 2x
1 9
5 25 1 2 5 25
Ê10A œ2, 3A 10B œ3 ÊA œ , B œ Êy œc e c e x
ww w # 0x † x x
3. y y œ sin x Ê r r œ 0 Ê rr 1 œ 0 Ê r œ 0 or r œ 1 Ê yc œ c1e c2e œ c1 c2e ;
w
ww
y œ A sin x B cos x Ê y œ A cos x B sin x Ê y œ A sin x B cos x
p p p
ÊA sin x B cos x A cos x B sin x œsin x ÊA Bsin x A Bcos x œsin x
1 1 1 1
ÊA B œ1, A B œ0 ÊA œ , B œ Êy œc c e sin x cos x
2 2 1 2 x
2 2
ww w # 2 #
x x
4. y 2y y œ x Ê r 2r 1 œ 0 Ê r 1
œ 0 Ê r œ 1 repeated twice Ê yc œ c1e c2x e ;
# w ww # #
yp œ Ax Bx C Ê yp œ 2Ax B Ê yp
œ 2A Ê Ax Bx C22Ax B2A œ x
# #
Ê Ax 4A Bx 2A 2B C
œ x Ê A œ 1, 4A B œ 0, 2A 2B C œ 0 Ê A œ 1, B œ 4,
x
x #
C œ 6 Ê y œ c e c xe x 4x6
1 2
ww # 0x †
5. y y œ cos 3x Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ e c1cos x c2sin x
œ c1cos x c2sin x;
w
ww
y œ A sin 3x B cos 3x Ê y œ 3A cos 3x 3B sin 3x Ê y œ 9A sin 3x 9B cos 3x
p p p
Ê9A sin 3x 9B cos 3x A sin 3x B cos 3x
œcos 3x Ê8A sin x 8B cos x œcos 3x
1 1
Ê8A œ0, 8B œ1 ÊA œ0, B œ Êy œc cos x c sin x cos 3x
ww # x # 0†
x
8 1 2 )
6. y y œ e Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê yc œ e c1cos x c2sin x
œ c1cos x c2sin x;
# x w # x ww # x # x # x # x # x # x
y œ Ae Ê y œ 2Ae Ê y œ 4Ae Ê 4Ae Ae œ e Ê 5Ae œ e Ê 5A œ 1
p
p
p
1 1 #x
5 1 2 5
Ê A œ Ê y œ c cos x c sin x e
ww w 2 2x x
7. y y 2y œ 20cos x Ê r r 2 œ 0 Ê r 2r 1
œ 0 Ê r œ 2 or r œ 1 Ê yc œ c1e c2e ;
w
ww
y œ A sin x B cos x Ê y œ A cos x B sin x Ê y œ A sin x B cos x
p p p
ÊA sin x B cos x A cos x B sin x2A sin x B cos x
œ20cos x
Ê 3A Bsin x A 3Bcos x œ 20cos x Ê 3A B œ 0, A 3B œ 20 Ê A œ 2, B œ '
2x x
Ê yœ c e c e 2sinx6cosx
ww
1 2
x 2 x w
x
c 1 2 p p
x x x x x x
8. y y œ 2x 3e Ê r 1 œ 0 Ê r œ 0 „ i Ê y œ c cos x c sin x; y œ Ax B Ce Ê y œ A Ce
ww
p
Ê y œ Ce Ê Ce Ax B Ce œ 2x 3e Ê Ax B 2Ce œ 2x 3e Ê A œ 2, B œ 0, 2C œ 3
3 3 x
2 1 2
2
Ê A œ 2, B œ 0, C œ Ê y œ c cos x c sin x 2x e
ww x # 2 x x
9. y y œ e x Ê r 1 œ 0 Ê r 1r 1
œ 0 Ê r œ 1 or r œ 1 Ê yc œ c1e c2e ;
x # w x x ww x x
y œ Axe Bx Cx D Ê y œ Ae Axe 2Bx C Ê y œ 2Ae Axe 2B
p
p
p
x x x # x # x # x #
Ê 2Ae Axe 2BAxe Bx CxD œ e x Ê 2Ae Bx Cx2BD
œ e x
1
Ê 2A œ 1, B œ 1, C œ 0, 2B D œ 0 Ê A œ
2, B œ 1, C œ 0, D œ 2
x x 1 x #
Ê y œ c e c e xe x 2
1 2
2
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