Thomas Calculus 13th [Solutions]

11.
2 2
Section 16.3 Path Independence, Potential Functions, and Conservative Fields 1173
f z
1 2 2 f g
2
z y z
2
x x
f ( x, y, z) ln y z g( x, y) ln x sec ( x y) g( x, y)
1
2
2 2
( x ln x x) tan ( x y) h( y) f ( x, y, z) ln y z ( x ln x x) tan ( x y) h( y)
1
2
f y 2 2
y
y y z y z
sec ( x y) h ( y) sec ( x y) h ( y) 0 h( y) C f ( x, y, z)
2 2 2 2
2 2
ln y z ( x ln x x ) tan ( x y ) C
f y 1
f x g x z
x 1 x y y 1 x y y 1 x y 1 y z
12. f ( x, y, z) tan ( xy) g( y, z)
2 2 2 2 2 2 2 2
g
y
1
z
2 2
y z
f y y
1 1 1
g( y, z) sin ( yz) h( z) f ( x, y, z) tan ( xy) sin ( yz) h( z)
1 1
h ( z) h ( z) h( z) ln | z|
C
z 2 2 2 2 z z
1 y z
1
y z
1 1
f ( x, y, z) tan ( xy) sin ( yz) ln | z|
C
P N M P N M
y z z x x y
13. Let F( x, y, z) 2xi 2yj 2zk 0 , 0 , 0 M dx N dy P dz is exact;
f 2 f g
2 2 2
x y y
2 x f ( x, y, z) x g( y, z) 2 y g( y, z) y h( z) f ( x, y, z) x y h( z)
f
z
2 2 2 2
(2, 3, 6)
h ( z) 2 z h( z) z C f ( x, y, z) x y z C 2x dx 2y dy 2z dz
2 2 2
f (2, 3, 6) f (0, 0, 0) 2 3 ( 6) 49
(0, 0, 0)
P N M P N M
y z z x x y
14. Let F( x, y, z) yzi xzj xyk
x , y , z M dx N dy P dz is
f f g g
x y y y
exact; yz f ( x, y, z) xyz g( y, z) xz xz 0 g( y, z) h( z)
f
z
f ( x, y, z) xyz h( z) xy h ( z) xy h ( z) 0 h( z) C f ( x, y, z)
xyz C
(3, 5, 0)
(1,1, 2)
yz dx xz dy xy dz f (3, 5, 0) f (1, 1, 2) 0 2 2
2 2
P N M P N M
y z z x x y
15. Let F( x, y, z) 2xyi x z j 2yzk
2 z , 0 , 2x
f 2 f 2 g 2 2 g 2
x y y y
M dx N dy P dz is exact; 2 xy f ( x, y, z) x y g( y, z)
x x z z
2 2 2
f
z
2 2 (1, 2, 3)
2 2 2
(0, 0, 0)
g( y, z) yz h( z) f ( x, y, z) x y yz h( z) 2 yz h ( z) 2 yz h ( z) 0 h( z)
C
f ( x, y, z) x y yz C 2xy dx x z dy 2 yz dz f (1, 2, 3) f (0, 0, 0) 2 2(3)
16
2 4
1 z
P N M P N M
y z z x x y
16. Let F( x, y, z) 2xi y j k 0 , 0 , 0
2
f 2 f g 2
y
x y y
3
M dx N dy P dz is exact; 2 x f ( x, y, z) x g( y, z) y g( y, z) h( z)
3
2 y
f
4
1
3 z
2
1 z
f ( x , y , z ) x h ( z ) h ( z ) h ( z ) 4 tan z C
3
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