Livro CI 2008

V Curso de Inverno
estranhos, apresentam dinâmica caótica. Os fundos dos poços, tendo em mente o espaço
euclidiano tridimensional representado (X, Y e Z ou largura, altura e profundidade), são na
verdade pontos (mais matematicamente, uma tríade (x, y, z)), portanto possuem dimensão
menor (um ponto tem dimensão 0) do que a do espaço no qual estão incluídos. Um atrator
sempre terá dimensão menor do que a do espaço que o contém, caso contrário ele seria o
próprio espaço e, portanto, poderíamos “passear” livremente sem necessariamente
convergir para nenhum lugar restrito do mesmo. Observando novamente o atrator de Lorenz
e sem nenhum rigor matemático, percebemos que esse atrator é “maior do que um ponto,
maior do que uma reta, mas menor do que uma superfície”. Estamos nos aproximando do
conceito de fractal, ou melhor, dimensão fractal. Vamos a um exemplo mais simples, porém
altamente elucidativo. Observe a figura 4 que mostra geometricamente a maneira de se
construir um conjunto de Cantor. Para termos um conjunto de Cantor tome a barra inicial e
divida-a em três partes iguais. Agora jogue fora o terço central e repita o mesmo processo
para os dois terços restantes e assim por diante.
Figura 4: O conjunto de Cantor.
Para n muito grandes, teremos uma nuvem de pontos que possui dimensão maior do
que a de um único ponto, porém, obviamente, menor do que a de uma reta, ou seja, o
conjunto de Cantor tem dimensão maior que 0 e menor do que 1! Utilizando processos que
não iremos descrever aqui (para maiores detalhes consulte nas bibliografias sugeridas o
assunto: algoritmos de contagem de caixas – box counting algorithms), calculamos que a
dimensão do conjunto de Cantor é 0,63! Estamos lidando com entidades que possuem
dimensão não inteira e, para tanto, Benoît Mandelbrot cunhou o termo fractal que vem do
latim fractus que significa quebrado, fraturado. Agora, com uma definição um pouco
melhorada do que vem a ser uma dimensão fractal, podemos dizer que atratores estranho
possuem dimensão fractal, como o atrator de Lorenz.
Na figura 6 temos um outro famoso fractal, o conjunto de Mandelbrot. Observe, nas
miniaturas, que mostram zooms cada vez maiores, que a invariância de escala é marcante.
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