Matemática... ¿Estás ahí? - Departamento de Matematica ...

M ATEMÁTICA… ¿ESTÁS AHÍ? EPISODIO 2 217
2 1 2 1 1 1 1 3 1 3 3 3 3 2 3 2 2 2
3 , 3, 2 3, 2 3, 2 , 2, 1 2, 1 2, 1 , 1, 3 1, 3 1
Lo que se ve entonces, es que ahora hay otras 12 posiciones
y que ahora sí quedan cubiertos todos los posibles casos. Además,
si uno recorre en sentido horario cualquiera de estas últimas
12, si empieza parándose en el número 1 otra vez, la
configuración que se tiene siempre es (1, 3, 2).
Ya estamos en condiciones de sacar algunas conclusiones. Si
se tienen 3 números y un cuadrado de 2 . 2, entonces hay en total
24 posibles configuraciones, que se pueden agrupar en dos órbitas,
por llamarlas de alguna manera. Una órbita es la que –al
recorrerla– tiene la configuración (1, 2, 3), mientras que la otra
órbita es la que al recorrerla tiene la configuración (1, 3, 2). Con
esto se agotan las posibilidades. Lo interesante del juego es que
no se puede pasar de una órbita a la otra. La pregunta que sigue,
entonces, es si se puede saber, sin tener que escribirlas todas, si
una configuración dada está en la órbita original o no. Le sugiero
que piense un rato esta respuesta, porque ilustra mucho sobre
lo que hace la matemática en casos similares.
Las configuraciones (1, 2, 3) y (3, 1, 2) están en la misma
órbita. En cambio, (3, 1, 2) y (1, 3, 2) no. ¿Se da cuenta por
qué? Es que al leer la última, empezando en el 1, el orden en que
aparecen los números no es correlativo, como en el caso de la
primera.
Algo más. Si uno tiene (3, 1, 2) y “cuenta” cuántas veces aparece
un número mayor antes que uno menor, hay dos casos: el
3 está antes que el 1, y el 3 está antes que el 2. Es decir, hay dos
inversiones (así se llaman). En el caso del (3, 2, 1), hay tres inversiones,
porque se tiene el 3 antes que el 2, el 3 antes que el 1, y
el 2 antes que el 1. Es decir, el número de inversiones puede ser
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