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M ATEMÁTICA… ¿ESTÁS AHÍ? EPISODIO 2 79
cada vez mayores, pero nunca superaban el número 2. Ahí mostré
también otra sucesión (la de la suma de las inversas de las
potencias de 2):
A 0
= 1 = 1 = 2 – 1
A 1
= 1 + 1/2 = 3/2 = 2 – 1/2
A 2
= 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 = 2 – 1/4
A 3
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8 = 2 – 1/8
A 4
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 31/16 = 2 – 1/16
A 5
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 63/32 = 2 – 1/32
A 6
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 127/64 = 2 – 1/64
Como puede ver, si bien los elementos de esta sucesión A n
son cada vez más grandes a medida que crece el subíndice n, ninguno
de ellos superará la barrera del número 2. Es decir que a
medida que el subíndice n es cada vez más grande, el valor correspondiente
de A n
es también mayor. Esto se indica (en la jerga
matemática) diciendo que la sucesión A n
es una sucesión estrictamente
creciente. Concluimos entonces: crece, sí, pero está acotada
por el número 2.
En el ejemplo que analizamos ahora, las sumas son cada vez
mayores también, pero lo que no queda claro es si hay una barrera
o límite (como antes sucedía con el número 2) que no puedan
superar. Hemos construido entonces lo que se llama una
sucesión (S n
) de números reales, de manera tal que a medida que
el subíndice n crece, el valor de S n
también lo hace. La pregunta
es si los números S n
crecen indefinidamente.
Pensémoslo de la siguiente manera: si no crecieran indefinidamente
querría decir que hay alguna pared que no podrán
superar. No importa cuán grande sea el subíndice n, habría una
barrera que no podría atravesar. (Por ejemplo, en el caso de la
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