полнотекстовый ресурс

Математический анализ, доказывая существование первообразной
функции F(х) для всякой непрерывной функции f (х) ,
вовсе не утверждает, что ее можно просто отыскать; важно то,
что принципиально такая функция существует.
Дадим геометрическое истолкование задачи нахождения
первообразной функции. Пусть дана функция f(x) = 2х. Первообразной
для нее будет функция F(х) = х2. Зная одну первообразную
функцию, можно найти и все остальные, прибавив к
ней произвольную постоянную С. Таким образом, самое общее
выражение для первообразной напишется в виде
у = \ 2xdx = х2 + С.
Если постоянной С дадим ряд произвольных значений, например,
6, 4, 1, 0, — 2 , . . . , то получим соответственно у = х2 + б,
у = х2 + 4, у = x2 + 1, у = х2, у — х2 — 2 , . . . Кривые, соответствующие
этим функциям,— параболы, их оси симметрии совпадают
с осью OY. Построив графики этих функций, получим бесчисленное
множество парабол, сдвинутых относительно параболы
у — х2 на произвольный отрезок С по оси OY (рис. 1). Из
этого бесчисленного множества парабол можно выделить вполне
определенную кривую, если будет задана еще какая-либо
точка М(х0,Уо)- Такое задание равносильно заданию начального
значения г/о искомой функции у = F (х) при заданном значении
Хо. Это условие называется начальным условием. Начальное
условие позволяет определить произвольную постоянную С
в уравнении у — F(х) + С. Действительно, подставляя начальные
значения Хо, у о, получим:
Уо = Ғ(х0)+ С \
С = уц — F (х0).
Отсюда первообразная функция, удовлетворяющая
начальному условию, примет
вид:
У = F(x) 4- [г/о — F(Xo)].
Начальное условие для данной задачи
.. можно сформулировать так: найти ту параболу,
которая проходит через данную
точку М (1,3). Из начального условия при
Хо = 1. г/о = 3 из уравнения у — х2 + С
Рис. 1. находим С.
3 = 1 2 + С; С = 2.
Уравнение искомой параболы (кривой) примет вид:
у = х2 + 2
(на рисунке эта парабола вычерчена жирным шрифтом).
8