Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ

More documents

Recommendations

Info

могут быть равны нулю, но только а0 Ф О (иначе полином будет низшей степени). Те значения переменной z, которые обращают функцию (полином) f(z) в нуль, называются корнями функции f(z). Например, для функции f(z) = z2 — 5z + 6 корни будут z, = 2 и z2 = 3, так как И f(Zi) = /(2) = 0, и f(z2) = /(3) = 0 . Попутно уместно поставить вопрос: а всякое ли уравнение имеет корни? В связи с этим рассмотрим уравнение неалгебраическое ег — 0, г = x + yi. Очевидно, что данное уравнение совсем не имеет корней, так как модуль ех левой части уравнения не обращается в нуль ни при одном значении х. Если же взять алгебраическое уравнение ci^z -f- axzn ^ -f- ^ 4- et-п—i z + ип — 0 , (1) то основная теорема алгебры утверждает: всякое алгебраическое уравнение (1) имеет, по крайней мере, один корень вещественный или комплексный. Доказательство этой теоремы приводится в курсе высшей алгебры. Вспомним основные свойства целой рациональной функции, которые нам понадобятся при изложении вопроса об интегрировании рациональной функции. Теорема I (Безу). Остаток от деления целой рациональной функции f(z) на двучлен вида z — b равен результату подстановки в данную функцию вместо z числа Ь. Доказательство. Пусть дана целая рациональная функция /(z); разделим ее на двучлен z — Ь\ полученное частное обозначим через cp(z), а остаток — через R (R — не зависит от г). Тогда по определению В равенстве (2) положим z = b: /(г) = (z — b) cp(z) + R. (2) f(b) = (b -b ) cp (b) + R, R = î(b). Пример 1. Найти остаток от деления на двучлен (z + 2). 25S f(z) = z4 — 3z3 + 2z — 7 Решение. В данном примере b = —2, поэтому R = f(b) = /(—2) = (—2)4 — 3(—2)3 + 2(—2) — 7 = 29. (3) Теорема II. Для того, чтобы целая рациональная функция i(z) делилась без остатка на z — b, необходимо и достаточно, чтобы f(b) = 0. Доказательство. Если функция f(z) делится на z—b без остатка, то это значит, R — 0, но R — f(b), следовательно, j(b )= 0, теорема доказана. Обратно, если f(b) = 0, то R = f (b) =0, т. е. деление f(z) на z—b совершается без остатка. Пользуясь изложенными теоремами, можно вывести признаки делимости суммы или разности одинаковых степеней двух количеств на сумму или разность первых степеней тех же количеств. Пример 1. Определить, делится ли х" — а" на разность х — а без остатка. Решение. По формуле (3) находим: R = f(a) = а ’1— а" 0. Итак, разность одинаковых степеней двух количеств делится на разность первых степеней тех же количеств без остатка. Пример 2. Делится ли х" — а" на сумму х + а без остатка? Решение. /? = /(—а) = (—о )"— а". Очевидно, что при n = 2k, т. е. при четном n, R = 0, a при n — 2k — 1 (при п нечетном) . R = —2а" Ф 0. Итак, разность одинаковых четных степеней двух количеств делится без остатка на сумму первых степеней тех же количеств. Пример 3. Делится ли х" .+ й" на х — а и на х + а без остатка? Решение. При делении х 1 + а” на х — а. R = f(a) = а" ,+ а " = 2а''Ф 0, т. е. сумма одинаковых степеней двух количеств не делится без остатка на разность первых степеней тех же количеств. При делении x" f а" на х + а R = f(—a) = (—а) ” + а". Очевидно, что при п четном .R = а" + ап= 2а” Ф 0 , и при п нечетном А* = —йп ~ап — 0. Итак, сумма одинаковых нечетных степеней двух количеств делится без остатка на сумму первых степеней тех же количеств, а сумма одинаковых четных степеней двух количеств не делится без остатка на сумму первых степеней тех же количеств. Теорема III. Целая рациональная функция f(z) п-ой степени может быть разложена на множители следующим образом: f(z) = a 0(z — zi) (z — z2) где a0 коэффициент при z ", a z l} г2, функции. (z Z n)y z n — корни данной 259
Доказательство. Функция / (z) = ао (*" + ахг"-' + агг "-2 + ... + ап- хz + а„ имеет, по крайней мере, хоть один вещественный или комплексный корень (основная теорема алгебры). Пусть таким корнем будет, например, Z\. Тогда f(Z\) = 0, а это значит, что полином делится на (z — Z\) без остатка (по теореме II). Обозначая полученное частное через tpn-i (2), будем иметь: / ( » = [z — ZX) Ÿ„_| (г) = [z — z 1)(a0zn~l +...), где
Page 2 and 3:
г И С Ч И С Л Е Н И Е m
Page 4 and 5:
Г 95 517.2 «Интегральн
Page 6 and 7:
ставлены в более тр
Page 8 and 9:
В самом деле, пусть
Page 10 and 11:
Математический ана
Page 12 and 13:
Для доказательства
Page 14 and 15:
1. Проверить справе
Page 16 and 17:
Таким образом, неоп
Page 18 and 19:
этого и вся рассмат
Page 20 and 21:
Сумма S', тоже назыв
Page 22 and 23:
очевидно, что при э
Page 24 and 25:
выражения (сумма пл
Page 26 and 27:
В этом и заключаетс
Page 28 and 29:
(j’ f(x)dx, а левая — [F(
Page 30 and 31:
Пример 3. Вычислить
Page 32 and 33:
Первый, второй и че
Page 34 and 35:
Пример 1. Найти f sin(0,
Page 36 and 37:
Решение. Умножим чи
Page 38 and 39:
Пример i. e%xdx ; j e~axdx.
Page 40 and 41:
Р с ш е н и e. du ] 4 + 9u2 )
Page 42 and 43:
Вычислить интеграл
Page 44 and 45:
Указание. Умножить
Page 46 and 47:
§ 9. Метод подстанов
Page 48 and 49:
Подставляя вместо t
Page 50 and 51:
Подставляя в данны
Page 52 and 53:
Вычислим первый ин
Page 54 and 55:
Пример 12. Найти I -----
Page 56 and 57:
который или находи
Page 58 and 59:
2х — 5 = /2; x = ■ dx — tdt,
Page 60 and 61:
17. f (bx — 2)dx 5 -------- 2 , _
Page 62 and 63:
с л:2dx Г (х2+ а2) + а2 , (*
Page 64 and 65:
К интегралу ^ x In xdx о
Page 66 and 67:
3. ^arctgxdx. Отв. .varctgx —
Page 68 and 69:
следовательно, ь ь j
Page 70 and 71:
Последнему соотнош
Page 72 and 73:
Действительно, на о
Page 74 and 75:
значе жуточное зн
Page 76 and 77:
Пример 2. Найти сред
Page 78 and 79:
Р е ш е н и е . 1)г/: 2n 1
Page 80 and 81:
Из наших рассужден
Page 82 and 83:
Действительно, рас
Page 84 and 85:
Выполняя подстанов
Page 86 and 87:
находим dx и пределы
Page 88 and 89:
Убедимся в справед
Page 90 and 91:
тогда dx — 1/2 dz cos* z Д
Page 92 and 93:
\ f(x)dx = — \ f(a— t)dt = \ f(
Page 94 and 95:
В самом деле, при z =
Page 96 and 97:
. f* cos® dv „ 4. \ ~---=—t---
Page 98 and 99:
тогда . dx du — — , v = x.
Page 100 and 101:
к/2 10. J cosmjc cos [m -J- 2)xdx.
Page 102 and 103:
Подставляя в форму
Page 104 and 105:
тогда а Г(а2— x2)ndx. fj
Page 106 and 107:
4. Что называется не
Page 108 and 109:
В этом случае говор
Page 110 and 111:
Следовательно, по о
Page 112 and 113:
Поэтому со оо a 2 _j_ р
Page 114 and 115:
Дело в том, что все,
Page 116 and 117:
дует сходимость ( с
Page 118 and 119:
Пусть теперь а < 1, в
Page 120 and 121:
пределу, равному 2,
Page 122 and 123:
руемоіі на отрезке
Page 124 and 125:
к пределам, устремл
Page 126 and 127:
хованной фигуры и п
Page 128 and 129:
Результат получилс
Page 130 and 131:
приводится к интег
Page 132 and 133:
Пределы интегриров
Page 134 and 135:
Пример. Вычислить t
Page 136 and 137:
Г r 6. \ е~^х cos 4 x dx. Отв
Page 138 and 139:
торая представляет
Page 140 and 141:
4 Если же мы эту пло
Page 142 and 143:
откуда dx J 1+ я г 2 + 00
Page 144 and 145:
когда f2(x) > fi(x) на да
Page 146 and 147:
Вычислим каждый ин
Page 148 and 149:
! Поэтому dS = ( 4,5 — у
Page 150 and 151:
( у = 4х — 3 находим, ч
Page 152 and 153:
Замечая, что при х =
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Подставляя в уравн
Page 158 and 159:
П р и м e p 19. Вычисли
Page 160 and 161:
Назовем V* внутренн
Page 162 and 163:
Переходя к пределу
Page 164 and 165:
П р и м e p 3. Вычислит
Page 166 and 167:
или d V = Я \ X2 dy. (55) с c
Page 168 and 169:
Применяя формулу (54
Page 170 and 171:
или Ну — rH — x(R— г) ;
Page 172 and 173:
* у' из уравнения кр
Page 174 and 175:
Интеграл взят по фо
Page 176 and 177:
определение длины
Page 178 and 179:
Интегрируя, получи
Page 180 and 181:
' Пример 4. Найти дли
Page 182 and 183:
Вычислим длину дуг
Page 184 and 185:
Не трудно убедитьс
Page 186 and 187:
Находим dx = cos ф dp — p
Page 188 and 189:
положительными и о
Page 190 and 191:
Дифференциал дуги
Page 192 and 193:
Находим дифференци
Page 194 and 195:
1 ми производными с
Page 196 and 197:
10. Циклоида задана
Page 198 and 199:
Аналогично напишем
Page 200 and 201:
Решение. Р у будем в
Page 202 and 203:
Тогда + а Р, =. 2 . j у I /
Page 204 and 205:
вокруг оси ОХ и оси
Page 206 and 207:
В дальнейшем будем
Page 208 and 209:
Длина дуги полуокр
Page 210 and 211: Первая теорема Рул
Page 212 and 213: Тогда момент одной
Page 214 and 215: Решение. По формула
Page 216 and 217: Решение. В силу сим
Page 218 and 219: второе слагаемое м
Page 220 and 221: где я f (ij2s — yi2)dx и л
Page 222 and 223: Пример 9. Определит
Page 224 and 225: 4. Найти центр тяжес
Page 226 and 227: Тогда К = i (х2—xi)y*dy. (
Page 228 and 229: В таком случае d L {h
Page 230 and 231: Полярный момент ин
Page 232 and 233: P е ш е и и e. d F = 2npdp. о
Page 234 and 235: М2, . . . , Мп-1, находящ
Page 236 and 237: где К — некоторая п
Page 238 and 239: получим: Полагая v,
Page 240 and 241: ГЛАВА IV ПРИБЛИЖЕНН
Page 242 and 243: образная функция и
Page 244 and 245: Формулы прямоуголь
Page 246 and 247: Другими словами, ра
Page 248 and 249: определения k. Функ
Page 250 and 251: откуда n / " (b) = Л Л « S
Page 252 and 253: Решение. Подинтегр
Page 254 and 255: двумя ординатами х
Page 256 and 257: п р о х о д я щ е й ч е
Page 258 and 259: Итак, по формуле Си
Page 262 and 263: откуда очевидно, чт
Page 264 and 265: Приведем еще одно з
Page 266 and 267: Докажем теперь, что
Page 268 and 269: Для доказательства
Page 270 and 271: то будем иметь след
Page 272 and 273: при одинаковых сте
Page 274 and 275: Замечание. Произво
Page 276 and 277: Решение. Делением ч
Page 278 and 279: Подставляя в это ра
Page 280 and 281: Покажем, как нужно
Page 282 and 283: откуда Зх2 + 5х + 12 1 5х
Page 284 and 285: или,- возвращаясь к
Page 286 and 287: x :i — 6 , л . x* + 4 3 л: \ -
Page 288 and 289: Тогда d x Vx2 — х + 2 (z 2
Page 290 and 291: Получили интеграл
Page 292 and 293: Примечание. Можно б
Page 294 and 295: Дифференцируя полу
Page 296 and 297: воспользуемся подс
Page 298 and 299: Беря производную и
Page 300 and 301: называется биномиа
Page 302 and 303: Возвращаясь к пере
Page 304 and 305: — V \ + X + x* 5. f _ L r J X V \
Page 306 and 307: или, принимая tg — =
Page 308 and 309: гралу от рациональ
Page 310 and 311:
Page 312 and 313:
§ 40. М етод приведен
Page 314 and 315:
Второй интеграл на
Page 316 and 317:
УПРАЖНЕНИЯ Вычисли
Page 318 and 319:
6)^— = —— *1----- уравн
Page 320 and 321:
32. Уравнение директ
Page 322 and 323:
11 ) (sin и)' — cos и • и'.
Page 324 and 325:
или dy. d2y _ d y dx ' dx2 ’ '
Page 326 and 327:
ОГЛАВЛЕНИЕ От авто
Page 328 and 329:
§ 3 1 . Формулы п р я м
show all

Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ