полнотекстовый ресурс

ГЛАВА V
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩ ИХ РАДИКАЛЫ
§ 34. Предварительные сведения
Мы убедились в том, что наиболее простым методом вычисления
интегралов служит нахождение первообразных функций.
Особенно большое значение имеет класс функций, первообразные
которых являются элементарными функциями. К такому
классу функций относятся многочлены, так как первообразными
для многочленов всегда будут тоже многочлены — элементарные
функции. Расширяя класс многочленов, мы придем к классу
рациональных функций. Напомним, что функция называется
рациональной, если ее значение получается при помощи рациональных
операций — сложения, вычитания, умножения и деления
над значением независимой переменной и постоянных чисел,
повторенных любое число раз и в любой последовательности.
Отсюда видно, что к действиям, дающим многочлены, добавляется
только одно действие деление.
Особенно важным окажется тот факт, что первообразные
всех рациональных функций будут являться тоже элементарными
функциями, хотя они уже и не будут рациональными.
Например, первообразная для рациональной функции - является
трансцендентной функцией у = In х, но она, как известно,
относится к элементарным функциям.
Прежде чем перейти к интегрированию рациональных функций,
вспомним основные понятия и свойства целой рациональной
функции (многочлена-полинома). Целая рациональная
функция (многочлен-полином) п-ой степени имеет вид:
/ (z) = aazn + ауг п-' + а2гп~2+ . . . + ап. , z + а„ , (117)
где п — положительное число; а0, a i , . . . , ап — вещественные
коэффициенты, не зависящие от z, причем некоторые из них
17—880 257