Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Зная что первая арка циклоиды пересекается с осью ОХ в<br />
точкзх —<br />
фі — 0, ф2 = 2л,<br />
остается проинтегрировать полученное выражение для dS в<br />
указанных пределах. Тогда<br />
5 = \ а2 (1 — cos®)2dt?= а2\ (1 — 2coscp -f cos2 ср) dy =<br />
. = а 2sln ф 4- - ср-f- -sin 2ср<br />
2 4<br />
а2 (2тс 4- тс) = Зтса2(ед2).<br />
Получился интересный вывод: площадь одной арки циклоиды<br />
равна утроенной площади катящегося круга радиуса а.<br />
Полученная формула позволяет вычислять площадь циклоиды<br />
и без применения интеграла. Например, площадь одной арки<br />
циклоиды<br />
х = 3(ф — sin ф),<br />
у = 3(1 — cos ф)<br />
равна, очевидно,<br />
5 = З.л.З2 = 27л (ед.2) ,<br />
так как а = 3.<br />
Пример 11. Вычислить площадь<br />
фигуры, ограниченной<br />
астроидой, которая задана уравнениями в параметрической<br />
форме:<br />
x = R cos3 1,<br />
у — R sin3t.<br />
Решение. Астроида симметрична относительно осей координат<br />
(рис. 31). Поэтому вычислим площадь, расположенную<br />
в первом квадранте, и увеличим ее потом в 4 раза. Находим<br />
Дифференциал искомой площади:<br />
dS = ydx, где у = R sin31, dx = —3 R sin t cos2 tdt.<br />
149
Change language