You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
откуда<br />
64 fi а 2 4<br />
и, = --------------- - = “ ^а.<br />
3 • 2* • 8 а 3<br />
Если заранее известно положение центра тяжести и длина дуги,<br />
то по теореме Гульдина легко определить площадь ее поверхности<br />
вращения. Поясним это примером.<br />
Пример. Найти площадь поверхности вращения фигуры,<br />
ограниченной первой аркой циклоиды и осыо ОХ, вокруг касательной<br />
к вершине циклоиды<br />
(рис. 67).<br />
Решение. Ордината центра<br />
тяжести циклоиды равна<br />
Ус = а.<br />
Значит, центр тяжести отстоит<br />
от касательной к вершине на<br />
расстоянии, равном 2 а — у с.<br />
Тогда по первой теореме Гульдина<br />
Рх— ‘2т-Ус * L 2г. ■ —а<br />
3<br />
8а<br />
64<br />
3<br />
■ла2 (ед2).<br />
Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры<br />
Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой у — f(x), двумя<br />
ординатами х — а, x — b и осью ОХ. Определим координаты<br />
центра тяжести этой плоской фигуры. Предположим для простоты<br />
рассуждений, что масса распределена по всей фигуре равномерно,<br />
так, что поверхностная плотность ц = 1 (т. е. масса, приходящаяся<br />
на единицу площади постоянна и равна единице).<br />
В таком случае масса любой части фигуры будет измеряться<br />
тем же числом, что и площадь части этой фигуры.<br />
Разобьем данную фигуру на п вертикальных полос, параллельных<br />
оси OY (рис. 68). Одну полоску, элемент данной фигуры,<br />
примем приближенно за прямоугольник с основанием dx и<br />
высотой у и будем считать, что масса выделенного элемента<br />
приближенно выражается тем же числом, что и площадь прямоугольника,<br />
т. е. равна ydx. Предположим, что масса всей<br />
полоски сосредоточена в центре тяжести этого прямоугольника,<br />
имеющем координаты:<br />
14—880 209
Change language