полнотекстовый ресурс

В этом случае существование несобственного интеграла
ь
ь
j/(jc)dx = пред j f(x)dx
а
а+г
равносильно существованию конечного предела
пред F (а + г).
Если этот предел существует, то его принимают за значение
F (а) первообразной функции при х — а. Этим достигается непрерывность
первообразной функции F(х) на всем отрезке
[а, Ь]. Тогда для вычисления несобственного интеграла мы
будем иметь обычную формулу
/(х)0 a+s a
Эта же формула остается справедливой и в том случае, если
особая точка лежит на отрезке или при наличии нескольких
особых точек, но обязательно должны быть соблюдены следующие
условия:
1) чтобы первообразная функция F(x) имела своей производной
функцию f(x) на всем отрезке, исключая особые точки и
2) чтобы первообразная функция F(x) была непрерывна во
всех точках отрезка, включая и особые точки.
Таким образом, при вычислении несобственных интегралов,
когда подинтегральная функция f(x) ограничена на бесконечном
промежутке, т. е., когда мы имели интегралы с бесконечными
пределами, можно было применять формулу Лейбница—
Ньютона при условии, что первообразная функция F(х) имеет
конечный предел, когда х-косили л->— ос.При вычислении несобственных
интегралов от неограниченных функций можно
применять формулу Лейбница—Ньютона лишь только в том
случае, когда ее первообразная функция F(x) будет непрерывна
во всех точках отрезка [a, b], включая и особые точки.
Например, если бы мы сразу применили формулу Лейбница—Ньютона
к вычислению интеграла от неограниченной (в
точке х = 2) функции в задаче 2, то получили бы
dx
2Г-
1
= _
x - 2 2 2
- 1
между тем, как этот интеграл расходится (см. зад. 2 § 24).
125