полнотекстовый ресурс

Последнему соотношению можно дать и другую словесную
формулировку: определенный интеграл от алгебраической суммы
равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов
от каждого слагаемого.
Покажем, что это свойство имеет силу и при а > Ь.
Действительно, по формуле I можем написать:
a
J I M * ) ± h(x)]dx = — \[fi{x) ± h{x)]dx.
В интеграле справа нижний предел, по условию, меньше верхнего,
поэтому к нему можно применить только что доказанное
свойство V, т. е.
j l/l (x) ± f i(x )]d x = — j [/, (*-) ± f o (x )]d x = — [ j A (JC) dx +
a b b
b
± \/, (x) dx] = [— ( x)dx ] + [ — \f i (x) dx] = j' / х(л:) dx +
b b b a
± ( /2 (x) dx.
§ 13. Теорема о среднем
Теорема о среднем значении является одним из важнейших
свойств определенного интеграла. Прежде чем сформулировать
эту теорему, докажем две вспомогательные теоремы.
Теорема 1. Если f(x) «С ф(х) на отрезке [a, b] и функции
f(x) и ф ( л : ) интегрируемы на этом отрезке [a, b ] , то
b. ь
\f(x)dx <
а
другими словами, неравенство можно интегрировать. В самом
деле, при любом разбиении отрезка [а, Ь] и любом выборе точки
^согласно условий теоремы можем написать:
п
£ / ( S f t ) ( * * ’— *fc-i) < S ? и * * — .v*_i),
k--=1
h=l
отсюда, переходя к пределу, мы получим:
68
а
? ь
/ (д:)dx < Г ср(дг)dx.
п
м
а